Найдите значение индуктивности катушки, если приемлемое напряжение изменяется со временем по закону u

Магическая_Бабочка

38

Хорошо, давайте решим эту задачу. Нам дано уравнение для напряжения на катушке \(u = 311 \cos (100\pi t)\), где \(u\) - напряжение на катушке, \(t\) - время.

Мы знаем, что напряжение на катушке связано с изменением магнитного потока и индуктивностью катушки по формуле \(u = -L \frac{{dI}}{{dt}}\), где \(I\) - ток через катушку, а \(L\) - индуктивность катушки.

Для решения задачи нам нужно найти индуктивность катушки. Для этого мы воспользуемся данной формулой и уравнением для напряжения.

Начнем с выражения для производной тока:
\[\frac{{dI}}{{dt}} = -\frac{u}{L}\]

Теперь заменим \(u\) в данном выражении на наше уравнение для напряжения на катушке:
\[\frac{{dI}}{{dt}} = -\frac{{311 \cos (100\pi t)}}{L}\]

Затем проинтегрируем это уравнение по времени от начального момента времени \(t_0\) до конечного момента времени \(t\):
\[\int_{t_0}^{t} \frac{{dI}}{{dt}} dt = \int_{t_0}^{t} -\frac{{311 \cos (100\pi t)}}{L} dt\]

Выполним интегрирование по обеим сторонам уравнения:
\[I(t) - I(t_0) = -\frac{{311}}{L} \int_{t_0}^{t} \cos (100\pi t) dt\]

Теперь вычислим интеграл от \(\cos (100\pi t)\):
\[\int_{t_0}^{t} \cos (100\pi t) dt = \left. \frac{{\sin (100\pi t)}}{{100\pi}} \right|_{t_0}^{t}\]
\[\int_{t_0}^{t} \cos (100\pi t) dt = \frac{{\sin (100\pi t) - \sin (100\pi t_0)}}{{100\pi}}\]

Подставим это обратно в уравнение:
\[I(t) - I(t_0) = -\frac{{311}}{{L}} \left( \frac{{\sin (100\pi t) - \sin (100\pi t_0)}}{{100\pi}} \right)\]

Теперь выразим индуктивность катушки \(L\):
\[L = -\frac{{311}}{{I(t) - I(t_0)}} \left( \frac{{\sin (100\pi t) - \sin (100\pi t_0)}}{{100\pi}} \right)^{-1}\]

Это и есть значение индуктивности катушки, если приемлемое напряжение изменяется со временем по закону \(u = 311 \cos (100\pi t)\). Обратите внимание, что для точного значения индуктивности катушки нам также понадобятся значения тока \(I(t)\) и \(I(t_0)\) в начальный и конечный моменты времени соответственно.