Найдите значение угла B треугольника ABC, если угол C равен 90 градусов, длина отрезка AC равна 5 и котангенс угла

Викторович

38

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать определение котангенса и свойства треугольника с прямым углом.

Во-первых, мы знаем, что котангенс угла B определяется как отношение прилежащего катета ко противоположному, то есть:

\[\cot B = \frac{{\text{привлежащий катет}}}{{\text{противоположный катет}}} = \frac{{AC}}{{BC}}\]

Мы также знаем, что угол C равен 90 градусов, поэтому B является острым углом. Это означает, что катет BC является прилежащим катетом, и мы знаем, что длина отрезка AC равна 5.

Исходя из этих данных, мы можем записать следующее уравнение:

\[\cot B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{5}{{BC}} = \frac{{12}}{{5}}\]

Чтобы найти значение BC, выразим его через обратную величину котангенса угла B:

\[BC = \frac{5}{{\cot B}} = \frac{5}{{\frac{{12}}{{5}}}} = \frac{5 \cdot 5}{{12}} = \frac{{25}}{{12}}\]

Теперь, используя теорему Пифагора, можем найти длину гипотенузы AB:

\[AB = \sqrt{{AC^2 + BC^2}} = \sqrt{{5^2 + \left(\frac{{25}}{{12}}\right)^2}}\]

\[AB = \sqrt{{25 + \frac{{625}}{{144}}}} = \sqrt{{\frac{{3600 + 625}}{{144}}}} = \sqrt{{\frac{{4225}}{{144}}}} = \frac{{65}}{{12}}\]

Наконец, чтобы найти значение угла B, можем использовать определение тангенса:

\[\tan B = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\frac{{25}}{{12}}}}{{5}} = \frac{{5}}{{12}}\]

Из определения тангенса мы можем также найти значение угла B:

\[B = \arctan \left(\frac{{5}}{{12}}\right)\]

Таким образом, значение угла B треугольника ABC примерно равно:

\[B \approx 22.619^\circ\]