Найдите значение выражения: произведение X на Y, если удовлетворяет уравнению (y-3x)^2+(x+y-2)^2=0

Лебедь

60

Хорошо, давайте решим данное уравнение и найдем значение произведения X и Y, учитывая условия задачи.

У нас дано уравнение: \((y-3x)^2 + (x+y-2)^2 = 0\)

Для начала, распишем квадраты в уравнении, используя формулу раскрытия скобок:

\((y-3x)^2 = y^2 - 6xy + 9x^2\)

\((x+y-2)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 4y + 4\)

Теперь подставим раскрытые квадраты обратно в уравнение:

\(y^2 - 6xy + 9x^2 + x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0\)

Сгруппируем похожие слагаемые:

\(2y^2 + 10x^2 - 4x - 4y + 4 = 0\)

Получаем уравнение второй степени. Чтобы найти его решение, можем использовать различные методы, например, метод подстановки или метод квадратного трехчлена.

Давайте воспользуемся методом квадратного трехчлена и представим уравнение в следующем виде:

\(A(x-a)^2 + B(y-b)^2 + C = 0\)

Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях переменных. В данном случае:

\(2y^2\) соответствует \(B(y-b)^2\), отсюда \(B = 2\) и \(b = 0\)

\(10x^2\) соответствует \(A(x-a)^2\), отсюда \(A = 10\) и \(a = 0\)

Таким образом, наше уравнение может быть переписано в следующем виде:

\(10x^2 + 2(y-0)^2 - 4x - 4(y-0) + 4 = 0\)

Упрощаем:

\(10x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4 = 0\)

Теперь приведем уравнение к каноническому виду:

\(\frac{{x^2}}{{(\sqrt{\frac{{2y^2}}{{10}}}})^2}} + \frac{{y^2}}{{(\sqrt{\frac{{-4x + 4}}{{2}}}})^2}} = 1\)

Сокращаем:

\(\frac{{x^2}}{{(\sqrt{\frac{{y^2}}{{5}}}})^2}} + \frac{{y^2}}{{(\sqrt{{-2x + 2}})^2}} = 1\)

Теперь мы видим, что уравнение представляет собой уравнение эллипса с вертикальной и горизонтальной осью.

Данный эллипс имеет центр в точке (0, 0) и полуосями \(a = \sqrt{\frac{{y^2}}{{5}}}\) в направлении оси x и \(b = \sqrt{{-2x + 2}}\) в направлении оси y.

Так как сумма двух квадратов должна быть равна 1, то для уравнения эллипса выполняется условие:

\(\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\)

В нашем случае:

\(\frac{{x^2}}{{(\sqrt{\frac{{y^2}}{{5}}}})^2}} + \frac{{y^2}}{{(\sqrt{{-2x + 2}})^2}} = 1\)

Теперь, чтобы найти значение произведения X и Y, нужно заметить следующее: поскольку значение произведения не определено по условию и уравнение эллипса содержит две переменные, то мы не можем однозначно найти это произведение без дополнительной информации.

Таким образом, значение произведения X и Y неопределено в данной задаче.