Какова площадь боковой поверхности конуса, если его осевым сечением является равносторонний треугольник и вокруг конуса

Pchelka

60

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Но прежде чем перейти к решению, давайте разберемся с основными понятиями и формулами.

Конус - это геометрическое тело, имеющее площадь основания и боковую поверхность. Основное сечение конуса может быть различной формы, но в данной задаче оно является равносторонним треугольником.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности конуса имеет вид:
\[S = \pi \cdot r \cdot l\]
где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - математическая константа \(\pi \approx 3.14159\), \(r\) - радиус окружности основания конуса, и \(l\) - образующая конуса.

Теперь вернемся к условию задачи. Шар описывается радиусом \(R\), и он описан вокруг конуса. Поскольку радиус шара равен радиусу основания конуса, то мы можем заменить \(r\) в формуле на \(R\), чтобы получить окончательную формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса:
\[S = \pi \cdot R \cdot l\]

Теперь осталось только найти значение образующей \(l\). Давайте воспользуемся свойствами равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы равны 60 градусов.

Образующая \(l\) конуса является высотой равностороннего треугольника. Для нахождения высоты равностороннего треугольника можно использовать формулу:
\[h = \frac{{a \cdot \sqrt{3}}}{2}\]
где \(h\) - высота треугольника, \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашем случае сторона треугольника равна радиусу шара \(R\), поэтому можем подставить \(R\) в формулу и найти высоту:
\[h = \frac{{R \cdot \sqrt{3}}}{2}\]

Теперь, когда мы знаем высоту \(h\), мы можем найти образующую \(l\) конуса, используя теорему Пифагора:
\[l = \sqrt{R^2 + h^2}\]
Подставим значение \(h\) в данную формулу:
\[l = \sqrt{R^2 + \left(\frac{{R \cdot \sqrt{3}}}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 + \frac{3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{4R^2 + 3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{7R^2}{4}} = \frac{{R\sqrt{7}}}{2}\]

Теперь, осталось только подставить найденное значение образующей \(l\) в формулу для площади боковой поверхности конуса:
\[S = \pi \cdot R \cdot \frac{{R\sqrt{7}}}{2} = \frac{{\pi R^2 \sqrt{7}}}{2}\]

Итак, площадь боковой поверхности конуса с осевым равносторонним треугольником вокруг него описанного шара радиусом \(R\) равна \(\frac{{\pi R^2 \sqrt{7}}}{2}\).