Найдите значение высоты правильной треугольной призмы, у которой площадь боковой поверхности равна площади поверхности

Магнит

52

Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\).

Площадь боковой поверхности треугольной призмы можно найти, зная периметр основания \(P\) и высоту призмы \(h\), по формуле:

\[S_{\text{бок}} = P \cdot h\]

Для правильной треугольной призмы периметр основания будет равен тройному произведению длины одной стороны \(a\) на \(\sqrt{3}\):

\[P = 3a\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы становится:

\[S_{\text{бок}} = 3a\sqrt{3} \cdot h\]

Площадь поверхности цилиндра состоит из двух составляющих: площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания цилиндра равна:

\[S_{\text{осн}} = \pi r^2\]

А площадь боковой поверхности описанного около цилиндра может быть найдена по формуле:

\[S_{\text{бок. цил}} = 2\pi r \cdot h\]

Теперь нам известны две величины: площадь боковой поверхности призмы и площадь поверхности цилиндра. Из условия задачи эти площади равны:

\[3a\sqrt{3} \cdot h = 2\pi r \cdot h\]

Отсюда можно выразить высоту призмы \(h\) через радиус цилиндра \(r\):

\[h = \frac{2\pi r}{3a\sqrt{3}}\]

Таким образом, значение высоты правильной треугольной призмы равно \(\frac{2\pi r}{3a\sqrt{3}}\).