Найдите значения a и b при a=log (70)14 и b=log(70)8. Затем используйте их, чтобы вычислить значение выражения

Петровна_3790

49

Конечно, с удовольствием помогу вам с этой задачей!

Для начала, нам нужно найти значения \( a \) и \( b \). Рассмотрим первое уравнение: \( a = \log_{70} 14 \). Это означает, что мы должны возвести 70 в степень \( a \), чтобы получить 14. Применяя определение логарифма, мы можем записать это уравнение как \( 70^a = 14 \).

Теперь рассмотрим второе уравнение: \( b = \log_{70} 8 \). Аналогично предыдущей части, мы должны возвести 70 в степень \( b \), чтобы получить 8. Таким образом, уравнение записывается как \( 70^b = 8 \).

Чтобы решить это систему уравнений, мы можем использовать логарифмический подход. Возьмем логарифмы обеих частей первого уравнения по основанию 70:

\[ \log_{70} (70^a) = \log_{70} 14 \]

По свойству логарифмов \(\log_b (x^y) = y \cdot \log_b x\), это уравнение становится:

\[ a = \log_{70} 14 \cdot \log_{70} 70 \]

Так как \(\log_{70} 70 = 1\) (любое число возводит в степень 1 равно ему самому), мы получаем:

\[ a = \log_{70} 14 \]

Аналогично, применяя логарифмический подход ко второму уравнению, мы получаем:

\[ b = \log_{70} 8 \]

Теперь, имея значения \( a \) и \( b \), мы можем использовать их, чтобы вычислить значение выражения \( \log_{35} 125 \).

Используя правило изменения основания логарифма \(\log_b x = \frac{{\log_a x}}{{\log_a b}}\), мы можем записать это выражение как:

\[ \log_{35} 125 = \frac{{\log_{70} 125}}{{\log_{70} 35}} \]

Вычислим значения знаменателя и числителя по очереди:

\[ \log_{70} 125 = \frac{{\log_{70} 5^3}}{{\log_{70} 5}} \]

Так как \( 125 = 5^3 \) и \(\log_a x^y = y \cdot \log_a x\), мы можем записать это уравнение как:

\[ \log_{70} 125 = 3 \cdot \log_{70} 5 \]

Затем рассмотрим значение знаменателя:

\[ \log_{70} 35 \]

При помощи свойств логарифмов \(\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\), мы можем разложить \(35\) на множители, чтобы деление логарифмов было проще:

\[ \log_{70} 35 = \log_{70} (5 \cdot 7) = \log_{70} 5 + \log_{70} 7 \]

Теперь, используя полученные значения, мы можем вычислить итоговый результат:

\[ \log_{35} 125 = \frac{{3 \cdot \log_{70} 5}}{{\log_{70} 5 + \log_{70} 7}} \]

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.