Найти циклическую частоту колебаний маленького кубика, который движется внутри сферической емкости (см. рисунок

Suzi

62

Чтобы найти циклическую частоту колебаний маленького кубика, движущегося внутри сферической емкости, нам необходимо использовать законы механики.

Предположим, что маленький кубик находится в равновесии в точке A, которая находится на высоте h над нижней точкой сферической емкости. Поскольку мы ищем циклическую частоту колебаний, нам необходимо найти период колебаний кубика.

Первым шагом в решении данной задачи будет нахождение значения ускорения свободного падения внутри сферической емкости. Ускорение свободного падения определяется силой тяжести и равно \(g\).

\(g\) можно найти, используя закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
\(F\) - сила гравитационного притяжения между двумя телами,
\(G\) - гравитационная постоянная, \(G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\),
\(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, взаимное притяжение которых изучается,
\(r\) - расстояние между центрами тел.

В данной задаче центр тяжести нашего маленького кубика находится на высоте \(h\) от нижней точки сферической емкости. Расстояние от центра кубика до центра сферической емкости можно выразить через радиус сферической емкости и высоту \(h\) следующим образом:

\[r = R - h\]

Если считать кубик массой \(m\), то масса сферической емкости не учитывается, так как мы ищем ускорение внутри самого кубика.

Теперь мы можем заменить известные значения в формулу для силы гравитационного притяжения:

\[F = \frac{{G \cdot m \cdot m_2}}{{(R-h)^2}}\]

Так как маленький кубик движется вверх и вниз, ускорение свободного падения в данном случае равно модулю силы гравитации, разделенному на массу кубика:

\[g = \frac{{F}}{{m}} = \frac{{G \cdot m \cdot m_2}}{{(R-h)^2}}\]

Таким образом, мы получили уравнение для ускорения свободного падения внутри сферической емкости.

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь один из шагов к решению полной задачи. Если вам нужны дополнительные шаги или объяснения, пожалуйста, сообщите мне.