Каково значение омического сопротивления колебательного контура, если известно, что амплитуда собственных колебаний

Игоревна

27

Для решения данной задачи нам понадобятся законы колебаний в колебательном контуре.

Колебательный контур состоит из индуктивности (L), емкости (C) и омического сопротивления (R). Уравнение колебаний в колебательном контуре имеет вид:

\[
\frac{{d^2 q}}{{dt^2}} + \frac{{R}}{{L}} \frac{{dq}}{{dt}} + \frac{{1}}{{LC}}q = 0,
\]

где q - заряд на конденсаторе, t - время.

Согласно условию задачи, амплитуда собственных колебаний в колебательном контуре уменьшается в 2.7 раза за время 0.05 секунды.

Из формулы для изменения амплитуды свободных колебаний в колебательном контуре:

\[
q(t) = q_0e^{-\left(\frac{{R}}{{2L}}\right)t}\cos\left(\omega t + \phi\right),
\]

где q(t) - заряд на конденсаторе в момент времени t, q_0 - начальная амплитуда колебаний, R - омическое сопротивление, L - индуктивность катушки, \(\omega = \frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}\) - угловая частота колебаний, \(\phi\) - фазовый угол, можно выразить отношение амплитуд:

\[
\frac{{q(t)}}{{q_0}} = e^{-\left(\frac{{R}}{{2L}}\right)t}.
\]

Из условия задачи мы знаем, что \(\frac{{q(t)}}{{q_0}} = 2.7\), а t = 0.05 секунды. Подставим эти значения в уравнение и найдем R:

\[
2.7 = e^{-\left(\frac{{R}}{{2L}}\right)(0.05)} \Rightarrow \ln(2.7) = -\left(\frac{{R}}{{2L}}\right)(0.05) \Rightarrow R = -\frac{{2L}}{{0.05}}\ln(2.7).
\]

Таким образом, значение омического сопротивления колебательного контура равно \(-\frac{{2L}}{{0.05}}\ln(2.7)\). Кроме того, заметим, что значение омического сопротивления будет иметь отрицательный знак в данной задаче.

Обратите внимание, что данное значение можно посчитать, если известны значения индуктивности катушки и константы \(\ln(2.7)\).