Найти длину стороны противолежащей бóльшему из двух углов в треугольнике, в котором два угла равны 30 градусам

Marina

54

Для начала, вспомним некоторые свойства треугольника. В треугольнике сумма всех трех углов всегда равна 180 градусам. Также, в прямоугольном треугольнике сумма углов прямого угла всегда равна 90 градусам.

Дано, что два угла треугольника равны 30 градусам и 45 градусам. По свойству треугольника, третий угол можно найти, вычтя сумму данных углов из 180 градусов:
\(180 - 30 - 45 = 105\) градусов.

Теперь у нас есть все три угла треугольника: 30 градусов, 45 градусов и 105 градусов. Заметим, что угол в 105 градусов является наибольшим углом в данном треугольнике.

Теперь сосредоточимся на нахождении длины стороны, противолежащей наибольшему углу (105 градусов).

Для решения этой задачи, нам потребуются знания о соотношениях между сторонами и углами в треугольнике. Как мы помним, в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) равна сумме квадратов длин двух других сторон, корень квадратный от суммы квадратов длин которых нам нужно найти.

Представим прямоугольный треугольник с длинами сторон \(x\) и \(y\) и гипотенузой \(с\). Из геометрических соображений мы знаем, что углы противолежащие сторонам \(x\) и \(y\) равны соответственно 30 градусов и 45 градусов (это условие задачи).

Применяя теорему Пифагора для этого треугольника, мы можем записать следующее равенство:
\[c^2 = x^2 + y^2\]

Однако, нам дано, что одна сторона (противолежащая наибольшему углу) равна \(x\), а другая сторона равна \(y\). Таким образом, мы можем переписать уравнение, используя эти значения:
\[c^2 = x^2 + y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\]

Теперь имея это уравнение, мы можем найти длину стороны \(x\), противолежащей 105-градусному углу, решив уравнение:
\[x^2 = \frac{c^2}{2}\]
\[x = \sqrt{\frac{c^2}{2}}\]
\[x = \frac{c}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, длина стороны \(x\) противолежащей наибольшему углу в данном треугольнике равна \(\frac{c}{\sqrt{2}}\). Мы можем описать ответ кратко, чтобы он был понятен школьнику: длина стороны, противолежащей 105-градусному углу, равна \(\frac{c}{\sqrt{2}}\), где \(c\) представляет длину гипотенузы треугольника, то есть противолежащей прямому углу.