Найти радиус шара, если образующая конуса равна и его осевое сечение представляет собой равносторонний треугольник

Сквозь_Песок

42

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом, нам нужно понять, как связаны радиус и образующая конуса. Создадим прямую \(h\), которая описывает высоту конуса от вершины до основания. Тогда у нас получится прямоугольный треугольник с гипотенузой \(h\) и одной из катетов равной радиусу \(r\).

\[ r^2 + h^2 = l^2 \]

Где \(l\) - образующая конуса. У нас уже дано, что образующая равна, поэтому можем заменить ее на значение.

\[ r^2 + h^2 = l^2 = a^2 \]

Теперь давайте посмотрим на осевое сечение. В задаче сказано, что основание представляет собой равносторонний треугольник. Зная, что равносторонний треугольник имеет все стороны равными, можем обозначить каждую сторону как \(a\).

Зная это, можем найти высоту треугольника, которая будет равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Теперь, используя это значение, мы можем подставить результат в уравнение из первого шага.

\[ r^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = a^2 \]

А теперь продолжим решение, раскрыв скобки и упростив уравнение.

\[ r^2 + \frac{3a^2}{4} = a^2 \]
\[ r^2 = a^2 - \frac{3a^2}{4} \]
\[ r^2 = \frac{4a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} \]
\[ r^2 = \frac{a^2}{4} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти радиус \(r\).

\[ r = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \]

Итак, радиус шара будет равен половине длины образующей конуса.