Каков радиус цилиндра, если в нём проведена плоскость параллельно его оси на расстоянии 6 см, пересекая основание

Солнечный_Наркоман_5487

59

Для начала, давайте определимся с обозначениями. Пусть \(r\) будет радиусом цилиндра, \(d\) будет длиной хорды, а \(h\) будет расстоянием между плоскостью и осью цилиндра.

Согласно условию, плоскость проведена параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 см. Изобразим сечение цилиндра, основание которого является окружностью, плоскостью и хордой:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[dashed] (0,0)--(0,3);
\draw[thick] (-2,3)--(2,3);
\draw[thick] (-2,0)--(2,0);
\draw[thick] (0,0) ellipse (2 and 0.5);
\draw[thick] (-1.6,0)--(-1.6,3);
\draw[thick] (1.6,0)--(1.6,3);
\draw[thick] (-1.6,3)--(-0.6,4);
\draw[thick] (1.6,3)--(0.6,4);
\draw (-1.6,0.1)--(-1.5,0.1)--(-1.5,0);
\draw (1.6,0.1)--(1.5,0.1)--(1.5,0);
\draw (0,-0.2) node {$O$};
\draw (0,3.2) node {$C$};
\draw (1.6,3.2) node {$P$};
\draw (-1.6,3.2) node {$Q$};
\draw (-1.6,-0.2) node {$A$};
\draw (1.6,-0.2) node {$B$};
\draw (-0.2,-0.2) node {$E$};
\draw (0.2,-0.2) node {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Здесь точка \(O\) — центр основания цилиндра, точка \(C\) — центр плоскости, точки \(P\) и \(Q\) — точки пересечения плоскости с окружностью основания, точки \(A\) и \(B\) — точки пересечения хорды с окружностью основания, а точки \(D\) и \(E\) — основания перпендикуляров, опущенных из точек \(A\) и \(B\) на ось цилиндра соответственно.

Из симметрии сечения цилиндра относительно его оси следует, что длина отрезка \(AE\) равна длине отрезка \(BE\). Пусть эта длина равна \(x\).

Далее, рассмотрим треугольник \(AOB\). Он является равнобедренным, так как угол между радиусами окружности \(OA\) и \(OB\) равен прямому углу (угол между хордой и радиусом окружности в точке пересечения). Из свойств равнобедренного треугольника следует, что отрезок \(OE\) является биссектрисой угла \(\angle AOB\). Тогда, согласно теореме о биссектрисе, выполняется соотношение:

\[
\dfrac{{AE}}{{OE}} = \dfrac{{BE}}{{OE}} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{{x}}{{r}} = \dfrac{{x}}{{r + 6}}
\]

Перемножим значения на обеих сторонах уравнения:

\[
x \cdot (r + 6) = x \cdot r
\]

Раскроем скобки:

\[
xr + 6x = xr
\]

Выразим переменную \(x\):

\[
6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]

Таким образом, получаем, что \(x = 0\), что невозможно. Это означает, что наше предположение о равенстве длин отрезков \(AE\) и \(BE\) было ошибочным. Следовательно, сечение плоскостью цилиндра не пересекает его ось, и можно заключить, что решение задачи невозможно.

Если у вас возникли ещё вопросы, пожалуйста, задавайте.