Найти вероятность того, что при включении устройства, из 15 элементов, из которых 4 изношены, случайным образом

Natalya_8050

22

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание вероятности и комбинаторики.

Вероятность события можно вычислить, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Общее количество возможных исходов можно найти по формуле:
\[ C_{15}^3 \]
где \( C_{15}^3 \) обозначает сочетание из 15 элементов по 3.

Теперь нам нужно найти количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбрать 3 элемента, которые не изношены. Так как 4 элемента изношены, у нас остается 15 - 4 = 11 неизношенных элементов.

Количество благоприятных исходов можно найти по формуле:
\[ C_{11}^3 \]
где \( C_{11}^3 \) обозначает сочетание из 11 неизношенных элементов по 3.

Теперь, чтобы найти вероятность события, нужно поделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:
\[ P = \frac{{C_{11}^3}}{{C_{15}^3}} \]

Давайте вычислим это значение:

\[
P = \frac{{11!}}{{3!(11-3)!}} \div \frac{{15!}}{{3!(15-3)!}}
\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[
P = \frac{{11! \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}}{{3! \cdot 8!}} \div \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}
\]

Здесь факториалы \(n!\) означают произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Упрощая это выражение дальше, мы получаем:

\[
P = \frac{{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}}{{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11}} = \frac{{12 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 3}}{{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11}} = \frac{{1092}}{{110}} \approx 0.9927
\]

Таким образом, вероятность того, что при включении устройства будут случайно выбраны 3 неизношенных элемента, равна примерно 0.9927 или 99.27%.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!