Найти значение a, при котором система уравнений { (xy^2 - 2xy - 4y + 8)/√(x+4) = 0 { y = ax имеет ровно два различных

Капля

4

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором система уравнений имеет ровно два различных решения, мы должны решить эту систему уравнений и выразить a.

Начнем с первого уравнения системы:

\(\frac{{xy^2 - 2xy - 4y + 8}}{{\sqrt{x+4}}} = 0\)

Для упрощения выражения обратимся к числителю:

\(xy^2 - 2xy - 4y + 8 = 0 \quad \text{(1)}\)

Поскольку второе уравнение y = ax, мы можем заменить y в первом уравнении этим выражением:

\(x(ax)^2 - 2x(ax) - 4(ax) + 8 = 0\)

Раскроем скобки:

\(a^2 x^3 - 2a^2 x^2 - 4ax + 8 = 0 \quad \text{(2)}\)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2). Давайте ее решим.

Рассмотрим первое уравнение (1). Можно заметить, что можно разделить его на \(y\) и получить:

\(xy - 2x - 4 + \frac{8}{y} = 0\)

Далее, возьмем выводимое уравнение y=ax и подставим его вместо y:

\(x(ax) - 2x - 4 + \frac{8}{ax} = 0\)

Теперь избавимся от дроби, умножив все выражение на \(ax\):

\(a^2 x^2 - 2x^2 - 4ax + 8 = 0\)

Сравнивая это уравнение с (2), замечаем, что они эквивалентны. Это означает, что система уравнений имеет решение для любого значения a.

Следовательно, значение параметра \(a\) не имеет значения. Ответ: система уравнений будет иметь ровно два различных решения при любом значении \(a\).