Найти значения a и b, при которых две прямые ax-2y-1=0 и 6x-4y-b=0 имеют общую точку; параллельны; совпадают

Заяц

13

Данная задача требует определения значений a и b, при которых две прямые имеют общую точку, параллельны или совпадают. Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать свойства линейных уравнений и систем уравнений.

Для начала, возьмем первое уравнение ax - 2y - 1 = 0 и приведем его к каноническому виду (обычно принятому виду уравнения прямой): y = mx + c, где m - наклон (коэффициент перед x), c - точка пересечения с осью y (константа).

Для этого, избавимся от первого слагаемого ax, перенеся его на другую сторону уравнения:
-2y = -ax + 1
Затем, разделим всю формулу на -2:
y = \frac{ax}{2} - \frac{1}{2}

Таким образом, первая прямая имеет наклон m_1 = \frac{a}{2} и точку пересечения с осью y c_1 = -\frac{1}{2}.

Теперь рассмотрим второе уравнение 6x - 4y - b = 0 и приведем его к каноническому виду:
- 4y = -6x + b
Разделив все уравнение на -4, получим:
y = \frac{6x}{4} - \frac{b}{4}

Вторая прямая имеет наклон m_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} и точку пересечения с осью y c_2 = -\frac{b}{4}.

Теперь мы можем проанализировать три варианта значений a и b для решения задачи:

1) Общая точка: Для того, чтобы прямые имели общую точку, их наклоны должны быть различными (\(m_1 \neq m_2\)). В данном случае, \(\frac{a}{2} \neq \frac{3}{2}\). Поэтому, значения a и b не могут быть определены таким образом, чтобы прямые имели общую точку.

2) Параллельные прямые: Для того, чтобы прямые были параллельными, их наклоны должны быть равными (\(m_1 = m_2\)). В данном случае, \(\frac{a}{2} = \frac{3}{2}\). Таким образом, мы можем решить эту систему уравнений, приравняв наклоны к друг другу:
\(\frac{a}{2} = \frac{3}{2}\)
Решим это уравнение:
a = 3

Теперь мы можем найти значение b, подставив значение a в любое из исходных уравнений. Для удобства, выберем второе уравнение:
6x - 4y - b = 0
Подставим a = 3:
6x - 4y - b = 0
6x - 4y - b = 0
6x - 4y - b = 0
6x - 4y - b = 0

3) Совпадающие прямые: Для того, чтобы прямые совпадали, их наклоны и точки пересечения должны быть одинаковыми (\(m_1 = m_2\) и \(c_1 = c_2\)). В данном случае, \(\frac{a}{2} = \frac{3}{2}\) и \(-\frac{1}{2} = -\frac{b}{4}\).

Результаты:
- Для параллельных прямых: a = 3, b - любое значение.
- Для совпадающих прямых: a = 3 и b = 2.

Итак, значения a и b, при которых две прямые имеют общую точку, параллельны или совпадают: a = 3 и b - любое значение для параллельных прямых или b = 2 для совпадающих прямых.