Необхідно знайти висоту зрізаного конуса, якщо радіуси його основ дорівнюють 10 см і 16 см, а твірна утворює з площиною

Кристальная_Лисица

38

Для решения этой задачи нам потребуется некоторая геометрическая теория. Во-первых, заметим, что когда конус обрезается, то образуется новая плоскость сечения, параллельная основанию конуса. Данная плоскость образует с осью конуса новый конус, называемый зрезанным конусом.

Для нахождения высоты зрезанного конуса нам понадобится теорема подобия треугольников. По данной задаче высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник с опущенной на его сторону высотой. Теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике, катет которого делится на две неравные части, сумма квадратов этих частей равна квадрату длины гипотенузы.

Обозначим \(h\) как высоту зрезанного конуса, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы основ обрезанного конуса. Также обозначим \(l\) как твёрдую, соединяющую точку пересечения обрезанной плоскости с осью конуса с центром останавливающей плоскостью.

По условию имеем:

\(r_1 = 10 \, \text{см}\) - радиус первой основы,
\(r_2 = 16 \, \text{см}\) - радиус второй основы,
\(l = 8 \, \text{см}\) - высота ствола конуса.

Также по условию известно, что острый угол между плоскостью основы и секущей плоскостью составляет 45 градусов.

- Шаг 1: Найдём высоту обрезанного конуса \(H\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами первой и второй основ конуса, и отрезком \(l\):

\[\begin{aligned}
H^2 &= (r_2 - r_1)^2 + l^2 \\
H^2 &= (16 - 10)^2 + 8^2 \\
H^2 &= 6^2 + 8^2 \\
H^2 &= 36 + 64 \\
H^2 &= 100 \\
H &= \sqrt{100} \\
H &= 10 \, \text{см}
\end{aligned}\]

- Шаг 2: Найдём высоту зрезанного конуса \(h\). Для этого воспользуемся теоремой подобия треугольников:

\[\frac{h}{H} = \frac{r_1}{r_1 - r_2}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{h}{10} = \frac{10}{10 - 16}\]

Упростим:

\[\frac{h}{10} = \frac{10}{-6}\]

Перемножим обе части уравнения:

\[h = \frac{10}{-6} \cdot 10\]

\[h = -\frac{100}{6} \, \text{см}\]

Ответ: Высота зрезанного конуса равна \(-\frac{100}{6}\) см. Однако, отрицательное значение не имеет физического смысла, поэтому ответом будет \(h = \frac{100}{6}\) см.