Необхідно знайти висоту зрізаного конуса, якщо радіуси його основ дорівнюють 10 см і 16 см, а твірна утворює з площиною

Кристальная_Лисица

38

Для решения этой задачи нам потребуется некоторая геометрическая теория. Во-первых, заметим, что когда конус обрезается, то образуется новая плоскость сечения, параллельная основанию конуса. Данная плоскость образует с осью конуса новый конус, называемый зрезанным конусом.

Для нахождения высоты зрезанного конуса нам понадобится теорема подобия треугольников. По данной задаче высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник с опущенной на его сторону высотой. Теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике, катет которого делится на две неравные части, сумма квадратов этих частей равна квадрату длины гипотенузы.

Обозначим $h$ как высоту зрезанного конуса, $r_1$ и $r_2$ - радиусы основ обрезанного конуса. Также обозначим $l$ как твёрдую, соединяющую точку пересечения обрезанной плоскости с осью конуса с центром останавливающей плоскостью.

По условию имеем:

$r_1=10\text{см}$ - радиус первой основы,
$r_2=16\text{см}$ - радиус второй основы,
$l=8\text{см}$ - высота ствола конуса.

Также по условию известно, что острый угол между плоскостью основы и секущей плоскостью составляет 45 градусов.

- Шаг 1: Найдём высоту обрезанного конуса $H$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами первой и второй основ конуса, и отрезком $l$:

$$\begin{array}{rl}{H}^2& =(r_2-r_1{)}^2+l^2\\ H^2& =(16-10{)}^2+8^2\\ H^2& =6^2+8^2\\ H^2& =36+64\\ H^2& =100\\ H& =\sqrt{100}\\ H& =10\text{см}\end{array}$$

- Шаг 2: Найдём высоту зрезанного конуса $h$. Для этого воспользуемся теоремой подобия треугольников:

$$\frac{h}{H}=\frac{r_1}{r_1-r_2}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{h}{10}=\frac{10}{10-16}$$

Упростим:

$$\frac{h}{10}=\frac{10}{-6}$$

Перемножим обе части уравнения:

$$h=\frac{10}{-6}\cdot 10$$

$$h=-\frac{100}{6}\text{см}$$

Ответ: Высота зрезанного конуса равна $-\frac{100}{6}$ см. Однако, отрицательное значение не имеет физического смысла, поэтому ответом будет $h=\frac{100}{6}$ см.