№1. Найдите радиус шара, в который переплавлен медный куб с ребром длиной 10 см. №2. Площадь сечения шара радиусом

Pavel

42

№1. Чтобы найти радиус шара, в который переплавлен медный куб, нам нужно использовать формулу для объема куба и формулу для объема шара.

Первым шагом найдем объем куба. У нас есть длина ребра куба, которая равна 10 см. Используя формулу объема куба, получим:

\[V_{куб} = a^3 = 10^3 = 1000 \, см^3\]

Теперь воспользуемся формулой для объема шара, чтобы найти радиус. Формула для объема шара выглядит так:

\[V_{шар} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Мы знаем, что объем куба равен объему шара, поэтому:

\[1000 \, см^3 = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Теперь найдем радиус шара, выразив его из этого уравнения. Для этого:

\[\frac{4}{3} \pi r^3 = 1000 \, см^3\]
\[r^3 = \frac{1000 \, см^3}{\frac{4}{3} \pi}\]
\[r = \sqrt[3]{\frac{1000 \, см^3}{\frac{4}{3} \pi}}\]

Подставим числовые значения и рассчитаем:

\[r \approx \sqrt[3]{\frac{1000 \, см^3}{\frac{4}{3} \pi}} \approx \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 5,52 \, см\]

Таким образом, радиус шара, в который переплавлен медный куб с ребром длиной 10 см, составляет примерно 5,52 см.

№2. Чтобы найти объем меньшего сегмента шара, который образуется отсечением заданного сечения плоскостью, мы сначала должны найти радиус этого сегмента.

Мы знаем, что площадь сечения шара составляет 81 см² и равна площади круга, образованного сечением. Формула площади круга выглядит следующим образом:

\[S_{круга} = \pi r^2\]

Мы знаем, что площадь сечения составляет 81 см², поэтому:

\[\pi r^2 = 81\]

Теперь найдем радиус, выразив его из этого уравнения:

\[r^2 = \frac{81}{\pi}\]
\[r = \sqrt{\frac{81}{\pi}}\]

Подставим числовые значения и рассчитаем:

\[r \approx \sqrt{\frac{81}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{81}{3.14}} \approx 5,71 \, см\]

Таким образом, радиус сегмента шара составляет примерно 5,71 см.

Теперь, чтобы найти объем меньшего сегмента, мы должны использовать формулу для объема сегмента шара:

\[V_{сегмента} = \frac{H}{6} \left(3a^2 + H^2\right)\]

Где \(H\) - высота сегмента, а \(a\) - радиус сегмента.

Мы знаем, что площадь сечения составляет 81 см², и радиус сегмента составляет 5,71 см, поэтому:

\[V_{сегмента} = \frac{H}{6} \left(3 \cdot (5,71)^2 + H^2\right) = \frac{H}{6} \left(3 \cdot 32,5841 + H^2\right)\]

Так как у нас нет информации о высоте сегмента, мы не можем точно рассчитать его объем. Нам нужна дополнительная информация.