Необходимо доказать, что если плоскости, проходящие через каждую из двух прямых, пересекаются по прямой, которая

Летучий_Пиранья

39

Хорошо, чтобы доказать это утверждение, давайте воспользуемся основным свойством пересекающихся плоскостей.

Предположим, что у нас есть две прямые \(l_1\) и \(l_2\). Пусть есть две плоскости: одна плоскость, проходящая через каждую точку прямой \(l_1\), и другая плоскость, проходящая через каждую точку прямой \(l_2\). Мы также предполагаем, что эти две плоскости пересекаются по прямой \(l\) (которая не пересекается ни с одной из данных прямых).

Для начала вспомним, что любая плоскость может быть задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - это некоторые константы. Теперь посмотрим на уравнения плоскостей, которые проходят через прямые \(l_1\) и \(l_2\).

Уравнение плоскости, проходящей через прямую \(l_1\), можно записать как \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\), а уравнение плоскости, проходящей через прямую \(l_2\), как \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\).

Так как обе плоскости пересекаются по прямой \(l\) и не пересекаются с прямыми \(l_1\) и \(l_2\), то плоскости не должны иметь других общих точек, кроме прямой \(l\). Это означает, что уравнения плоскостей должны быть эквивалентными и несовместными системами уравнений.

Несовместность системы уравнений \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\) означает, что определитель матрицы коэффициентов системы равен нулю:

\[
\begin{vmatrix}
A_1 & B_1 & C_1 \\
A_2 & B_2 & C_2 \\
\end{vmatrix}
= 0
\]

Разложим этот определитель по первому столбцу:

\[
\begin{vmatrix}
B_1 & C_1 \\
B_2 & C_2 \\
\end{vmatrix}
\cdot A_1
- \begin{vmatrix}
A_2 & C_2 \\
A_1 & C_1 \\
\end{vmatrix}
\cdot B_1
+ \begin{vmatrix}
A_2 & B_2 \\
A_1 & B_1 \\
\end{vmatrix}
\cdot C_1
= 0
\]

Поскольку этот определитель равен нулю, получаем:

\[
(B_1 \cdot C_2 - C_1 \cdot B_2) \cdot A_1 - (A_2 \cdot C_2 - C_1 \cdot A_1) \cdot B_1 + (A_2 \cdot B_1 - B_2 \cdot A_1) \cdot C_1 = 0
\]

Из этого уравнения можно выразить:

\[
A_1 = \frac{(A_2 \cdot C_2 - C_1 \cdot A_1) \cdot B_1 - (A_2 \cdot B_1 - B_2 \cdot A_1) \cdot C_1}{B_1 \cdot C_2 - C_1 \cdot B_2}
\]

Мы видим, что полученное уравнение связывает коэффициенты \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(A_2\), \(B_2\) и \(C_2\). Если бы эти две прямые не были параллельными, то уравнение прямой \(l_2\) по коэффициентам \(A_2\), \(B_2\) и \(C_2\) из этого уравнения можно было бы выразить. Однако, поскольку это невозможно из-за несовместности системы, это означает, что \(A_1\) должно равняться нулю, так как оно не может быть выражено однозначно через другие коэффициенты.

Таким образом, если \(A_1 = 0\), мы получаем, что бессистемная система уравнений:

\[
\begin{cases}
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \\
\end{cases}
\]

превращается в систему:

\[
\begin{cases}
0x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \\
\end{cases}
\]

а это означает, что прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны.

Таким образом, мы доказали, что если плоскости, проходящие через каждую из двух прямых, пересекаются по прямой, которая не пересекается с данными прямыми, то эти две прямые являются параллельными.