Необходимо определить угол отклонения стержня после попадания пули массой 10 г, движущейся горизонтально со скоростью

Магнитный_Магнат

64

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом, нам нужно определить импульс пули перед ударом. Импульс определяется как произведение массы тела на его скорость. В данном случае, масса пули равна 10 г (0.01 кг), а скорость – 250 м/с. Поэтому импульс пули равен:

\[ \text{импульс} = \text{масса} \times \text{скорость} = 0.01 \, \text{кг} \times 250 \, \text{м/с} \]

Вычисляем:

\[ \text{импульс} = 2.5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Вторым шагом, в соответствии с законом сохранения импульса, импульс пули после удара будет равен импульсу стержня. Поскольку стержень подвешен за один из концов, он сможет вращаться вокруг вертикальной оси, и его масса важна для нашего рассмотрения.

Третьим шагом, мы можем использовать момент импульса (угловой импульс) для определения угла отклонения стержня. Момент импульса определяется как произведение момента инерции и угловой скорости. В данном случае, момент инерции стержня будет зависеть от его длины и массы. Используем формулу момента инерции для стержня, подвешенного за один из концов:

\[ I = \frac{1}{3} m L^2 \]

где \( m \) - масса стержня, \( L \) - длина стержня.

Подставим известные значения:

\[ I = \frac{1}{3} \cdot 10 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 \]

Вычисляем:

\[ I = \frac{1}{3} \cdot 10 \, \text{кг} \cdot 4 \, \text{м}^2 = \frac{40}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Четвертым шагом, нам нужно определить угловую скорость стержня после попадания пули. Поскольку удар считается абсолютно упругим, энергия сохраняется. Момент импульса \( L \) остается постоянным до и после удара. Поэтому, применяя закон сохранения энергии, мы можем записать:

\[ \frac{1}{2} I \omega^2 = \text{импульс пули} \times L \]

где \( \omega \) - угловая скорость стержня.

Подставляем известные значения:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{40}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega^2 = 2.5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \times 2 \, \text{м} \]

Упрощаем уравнение:

\[ \frac{20}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega^2 = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \cdot \text{м} \]

Теперь решим уравнение относительно \( \omega \):

\[ \omega^2 = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \cdot \text{м}}{\frac{20}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2} \]

\[ \omega^2 = \frac{3 \cdot 5 \, \text{м/с}}{4 \, \text{м}} \]

\[ \omega^2 = \frac{15 \, \text{м}^2/\text{с}}{4 \, \text{м}} \]

\[ \omega^2 = \frac{15 \, \text{м}}{4} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{15 \, \text{м}}{4}} \]

Вычисляем:

\[ \omega \approx 1.94 \, \text{м} \]

Пятый и последний шаг – определить угол отклонения стержня. Угол отклонения можно выразить через угловую скорость:

\[ \theta = \omega \cdot t \]

где \( \theta \) - угол отклонения, \( t \) - время.

Поскольку в задаче не дано время, придется обратиться к формулам для периода колебаний при малых углах отклонения. Для математического маятника период колебаний можно выразить следующей формулой:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g L}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( g \) - ускорение свободного падения.

Теперь мы можем выразить время через период:

\[ t = \frac{T}{4} \]

Подставляем известные значения:

\[ t = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g L}}}{4} \]

Упрощаем:

\[ t = \frac{\pi \sqrt{\frac{I}{m g L}}}{2} \]

Теперь подставим известные значения и вычислим \( t \):

\[ t = \frac{\pi \sqrt{\frac{\frac{40}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}{10 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 2 \, \text{м}}}}{2} \]

\[ t = \frac{\pi \sqrt{\frac{40}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 0.05 \, \text{м/с}^2}}{2} \]

\[ t = \frac{\pi \sqrt{\frac{2}{3} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}}{2} \]

\[ t = \frac{\pi \cdot \sqrt{2/3} \, \text{кг} \cdot \text{м}}{2} \]

Вычислим \( t \):

\[ t \approx 1.57 \, \text{с} \]

Теперь мы можем найти угол отклонения:

\[ \theta = \omega \cdot t = (1.94 \, \text{м}) \cdot (1.57 \, \text{с}) \]

\[ \theta \approx 3.05 \, \text{м} \cdot \text{с} \]

Таким образом, угол отклонения стержня составляет примерно 3.05 радиан.

Математическое решение позволяет определить угол отклонения стержня после попадания пули массой 10 г, движущейся горизонтально со скоростью 250 м/с, при условии, что стержень массой 10 кг и длиной 2 м подвешен за один из концов. Удар считается абсолютно упругим.