Нужно доказать, что отрезок А1С перпендикулярен отрезку B1D1 в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1

Буран_2210

27

Для доказательства перпендикулярности отрезков \(\overline{A1C}\) и \(\overline{B1D1}\) в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, обратимся к свойствам параллелепипеда и перпендикулярности.

1. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 - это правильно прямоугольный параллелепипед, где противоположные стороны плоскостей параллельны и равны по длине. Это означает, что \(\overline{AA1}\) параллельно \(\overline{B1C1}\), \(\overline{AB}\) параллельно \(\overline{A1B1}\), и так далее.

2. Для доказательства перпендикулярности, мы должны показать, что векторы, задаваемые данными отрезками, ортогональны (т.е. их скалярное произведение равно нулю).

3. Заметим, что отрезок \(\overline{A1C}\) задается вектором \(\overrightarrow{A1C} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{A1A}\). Аналогично, отрезок \(\overline{B1D1}\) задается вектором \(\overrightarrow{B1D1} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{B1B}\).

4. Поскольку параллелепипед ABCDA1B1C1D1 является правильно прямоугольным, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) ортогональны. То есть, \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\).

5. Кроме того, векторы \(\overrightarrow{A1A}\) и \(\overrightarrow{B1B}\) также ортогональны, так как перпендикулярны в соответствующих плоскостях параллелепипеда. Значит, \(\overrightarrow{A1A} \cdot \overrightarrow{B1B} = 0\).

6. Теперь, подставим значения векторов, чтобы показать ортогональность \(\overline{A1C}\) и \(\overline{B1D1}\):
\[\overrightarrow{A1C} \cdot \overrightarrow{B1D1} = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{A1A}) \cdot (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{B1B})\]
\[\overrightarrow{A1C} \cdot \overrightarrow{B1D1} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B1B} - \overrightarrow{A1A} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{A1A} \cdot \overrightarrow{B1B}\]

7. Поскольку мы знаем, что \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\) и \(\overrightarrow{A1A} \cdot \overrightarrow{B1B} = 0\) (из шага 4 и 5), мы можем упростить уравнение:
\[\overrightarrow{A1C} \cdot \overrightarrow{B1D1} = - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B1B} - \overrightarrow{A1A} \cdot \overrightarrow{BD}\]

8. Так как \(\overline{AA1}\) параллельно \(\overline{B1C1}\), и \(\overline{AB}\) параллельно \(\overline{A1B1}\), мы можем сказать, что \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{B1B}\) параллельны, и \(\overrightarrow{A1A}\) и \(\overrightarrow{BD}\) параллельны. Значит, \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B1B} = 0\) и \(\overrightarrow{A1A} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\).

9. Подставим значения и получим:
\[\overrightarrow{A1C} \cdot \overrightarrow{B1D1} = - 0 - 0 = 0\]

10. Мы получили, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{A1C}\) и \(\overrightarrow{B1D1}\) равно нулю. Это означает, что данные отрезки перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Таким образом, отрезок \(\overline{A1C}\) перпендикулярен отрезку \(\overline{B1D1}\) в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.