Определить, есть ли корень у уравнения y=3x2−11,9x+5 на интервале [-4, 4]. Если есть, введите число 1, если

Лука

48

Для определения наличия корней у данного квадратного уравнения, необходимо рассмотреть его дискриминант. Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) определяется по формуле \(D=b^2-4ac\).

В данном случае у нас уравнение \(y=3x^2-11.9x+5\), где \(a=3\), \(b=-11.9\) и \(c=5\). Подставим эти значения в формулу для нахождения дискриминанта:

\[D=(-11.9)^2-4\cdot3\cdot5\]

Выполним вычисления:

\[D=141.61-60=81.61\]

Получили, что значение дискриминанта равно 81.61.

Теперь, чтобы определить наличие корней на заданном интервале \([-4, 4]\), нам необходимо проверить значения функции \(y\) на концах интервала и наличие каких-либо пересечений с осью абсцисс (y=0).

1. Подставим \(x=-4\) в уравнение:
\[y=3(-4)^2-11.9(-4)+5=48+47.6+5=100.6\]

2. Подставим \(x=4\) в уравнение:
\[y=3(4)^2-11.9(4)+5=48-47.6+5=5.4\]

Таким образом, на концах интервала у нас есть точки с координатами \((-4, 100.6)\) и \((4, 5.4)\).

Для определения наличия корней уравнения на заданном интервале, мы должны проверить, различны ли знаки у \(y\) на концах интервала. В нашем случае это не так, поскольку оба значения \(y\) положительны.

Кроме того, уравнение является параболой с вершиной в точке с координатами \((x_v, y_v)\), где:

\[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-11.9}{2\cdot3} = 1.9833\]
\[y_v = \frac{-D}{4a} = \frac{-81.61}{4\cdot3} = -6.7728\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1.9833, -6.7728)\).

Исходя из этой информации, мы можем сделать следующие выводы:

1. На интервале \([-4, 4]\) у уравнения \(y=3x^2-11.9x+5\) есть корни, так как существуют точки на графике, где значение \(y\) меняется с положительного на отрицательное или наоборот. В данном случае, значение \(y\) меняется от положительного значения в точке \((-4, 100.6)\) к отрицательному значению в точке \((4, 5.4)\).

2. Вершина параболы находится ниже оси абсцисс (\(y_v = -6.7728 < 0\)), что подтверждает наличие корней у уравнения.

Таким образом, ответ на задачу - есть корень, и мы вводим число 1.