Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него

Блестящая_Королева_6818

68

Чтобы определить массу планеты Уран (в массах Земли), нам понадобится использовать законы Кеплера и формулу для гравитационного притяжения.

Первым шагом будет использование третьего закона Кеплера, который говорит, что отношение куба периода обращения спутника к квадрату его среднего расстояния до планеты будет одинаковое для всех спутников этой планеты.

Мы знаем период обращения спутника Титании вокруг Урана, который равен 8,7 дня. Теперь нам нужно выразить этот период в правильных единицах измерения. 1 день равен 24 часа, а 1 час равен 60 минутам, поэтому 8,7 дня можно перевести в часы следующим образом:

\[8,7 \text{ дня} \times 24 \text{ часа/день} = 208,8 \text{ часа}\]

Теперь у нас есть период обращения спутника Титании в часах.

Вторым шагом будет использование формулы для гравитационного притяжения:

\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

где:
- \(F\) - сила гравитационного притяжения между двумя объектами,
- \(G\) - гравитационная постоянная,
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов,
- \(r\) - расстояние между объектами.

Дано, что период обращения спутника Титании составляет 208,8 часа, а среднее расстояние до Урана равно 438 000 км. Так как речь идет о действии спутника на планету, то можно игнорировать массу самого спутника, поэтому сила гравитационного притяжения равна:

\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = G \cdot \frac{m_{\text{Титания}} \cdot m_{\text{Урана}}}{r^2}\]

где:
- \(m_{\text{Титания}}\) - масса спутника Титания,
- \(m_{\text{Урана}}\) - масса планеты Уран,
- \(r\) - среднее расстояние до Урана.

Далее, поскольку мы рассматриваем движение Титании вокруг Урана, нам следует использовать закон всемирного тяготения:

\[\frac{m_{\text{Титания}}}{m_{\text{Урана}}} = \left(\frac{P_{\text{Титания}}}{P_{\text{Уран}}} \right)^2\]

где:
- \(P_{\text{Титания}}\) - период обращения спутника Титании,
- \(P_{\text{Уран}}\) - период обращения планеты Урана.

Мы знаем, что \(P_{\text{Титания}} = 208,8\) (в часах) и \(P_{\text{Уран}}\) еще неизвестно. Поэтому первым делом нам нужно определить период обращения планеты Урана.

Согласно третьему закону Кеплера, отношение куба периода обращения спутника к квадрату его среднего расстояния до планеты будет одинаковым для всех спутников этой планеты:

\[\left(\frac{P_{\text{Титания}}}{P_{\text{Уран}}} \right)^2 = \left(\frac{r_{\text{Титания}}}{r_{\text{Уран}}} \right)^3\]

где:
- \(r_{\text{Титания}}\) - среднее расстояние до Урана спутника Титании,
- \(r_{\text{Уран}}\) - неизвестное среднее расстояние до Урана.

Дано, что \(r_{\text{Титания}} = 438\) тыс. км. Мы сможем найти значение \(r_{\text{Уран}}\) из этого уравнения.