Определите матрицу движения материальной точки, принимая во внимание уравнение r(t) = i(A + Bt²) + jCt, где A = 10

Самбука_912

52

Хорошо, давайте вместе решим задачу.

У нас есть уравнение движения материальной точки: \(r(t) = i(A + Bt^2) + jCt\), где \(A = 10\) метров, \(B = -5\) м/с² и \(C = 10\) м/с.

Для начала, найдем матрицу движения материальной точки. В матричной форме, уравнение движения может быть записано как:

\[
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A \\
C
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
B
\end{pmatrix}
t^2
+
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
Ct
\]

Таким образом, матрица движения будет иметь вид:

\[
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A \\
C
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
B
\end{pmatrix}
t^2
+
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
Ct
\]

Подставим значения переменных \(A\), \(B\) и \(C\):

\[
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\
10
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
-5
\end{pmatrix}
t^2
+
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
10t
\]

Теперь давайте нарисуем путь точки. Путь точки определяется координатами \(x(t)\) и \(y(t)\).

Подставим значения времени \(t\) от 0 до 5 секунд и найдем соответствующие координаты \(x\) и \(y\):

Для t = 0 секунд:
\(x(0) = 10\), \(y(0) = 10\)
Координаты точки: (10, 10)

Для t = 1 секунда:
\(x(1) = 10 + 0 - 10 = 0\), \(y(1) = 10 + (-5) + 10 = 15\)
Координаты точки: (0, 15)

Для t = 2 секунды:
\(x(2) = 10 + 0 - 20 = -10\), \(y(2) = 10 + (-5)\cdot4 + 20 = 5\)
Координаты точки: (-10, 5)

Для t = 3 секунды:
\(x(3) = 10 + 0 - 30 = -20\), \(y(3) = 10 + (-5)\cdot9 + 30 = 0\)
Координаты точки: (-20, 0)

Для t = 4 секунды:
\(x(4) = 10 + 0 - 40 = -30\), \(y(4) = 10 + (-5)\cdot16 + 40 = -10\)
Координаты точки: (-30, -10)

Для t = 5 секунд:
\(x(5) = 10 + 0 - 50 = -40\), \(y(5) = 10 + (-5)\cdot25 + 50 = -15\)
Координаты точки: (-40, -15)

Таким образом, путь точки изображен на графике и состоит из следующих координат: (10, 10), (0, 15), (-10, 5), (-20, 0), (-30, -10), (-40, -15).

Теперь перейдем к нахождению выражения для скорости. Скорость определяется как производная пути по времени. Для нашего случая, точка движется только по оси \(x\) и по оси \(y\) соответственно, поэтому выражения для скорости будут:

\(v_x(t) = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(A + Bt^2) = 2Bt\)

\(v_y(t) = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(Ct) = C\)

Таким образом, выражение для скорости будет:

\(v(t) = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2Bt \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10t \\ 10 \end{pmatrix}\)

Выражение для скорости будет зависеть от времени и иметь вид \(v(t) = \begin{pmatrix} -10t \\ 10 \end{pmatrix}\).

Вот и все решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.