Определите отношение ускорений a1/a2, приобретенных двумя шариками во время столкновения на гладкой поверхности. Радиус

Хрусталь

62

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать законы сохранения импульса и энергии. Давайте разберемся пошагово.

Шарики находятся на гладкой поверхности, поэтому можно считать, что нет внешних сил, влияющих на систему, и законы сохранения импульса и энергии выполняются.

Пусть первый шарик имеет массу m1 и радиус r1, а второй шарик имеет массу m2 и радиус r2. По условию, радиус первого шарика в 3 раза меньше радиуса второго шарика, то есть r1 = r2/3.

Закон сохранения импульса гласит, что импульс системы до столкновения должен быть равен импульсу системы после столкновения. Импульс можно выразить через массу и скорость шарика: импульс = масса * скорость.

Пусть скорость первого шарика до столкновения равна v1, а скорость второго шарика до столкновения равна v2.

Таким образом, импульс системы до столкновения будет равен:

\(p_{до} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\) (1)

А импульс системы после столкновения будет равен:

\(p_{после} = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\) (2)

где u1 и u2 - скорости первого и второго шариков после столкновения.

Согласно закону сохранения импульса, импульс до столкновения должен равняться импульсу после столкновения:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\) (3)

Закон сохранения энергии гласит, что кинетическая энергия системы до столкновения должна быть равна кинетической энергии системы после столкновения.

Кинетическая энергия шарика выражается формулой: \(E_{к} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\).

Кинетическая энергия системы до столкновения будет равна:

\(E_{до} = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2\) (4)

А кинетическая энергия системы после столкновения будет:

\(E_{после} = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\) (5)

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия до столкновения должна равняться кинетической энергии после столкновения:

\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\) (6)

Теперь, чтобы найти отношение ускорений a1/a2, нам нужно выразить скорости u1 и u2 через скорости v1 и v2.

Используя закон сохранения импульса (3), мы можем получить следующее:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\) (7)

Разделив обе части уравнения на m1, получаем:

\(v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2 = u_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot u_2\) (8)

Заметим, что m2/m1 равно отношению масс шариков, иначе m2/m1 = (4/3)^3 = 64/27, поскольку r1 = r2/3.

Теперь, используя закон сохранения энергии (6), мы можем получить:

\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2\) (9)

Выразим u1 и u2 через v1 и v2:

\(v_1^2 + \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2^2 = u_1^2 + \frac{m_2}{m_1} \cdot u_2^2\) (10)

Воспользуемся уравнениями (8) и (10) для нахождения u1 и u2. Приведу решение в краткой форме.

Уравнение (8) можно переписать в виде:

\(v_1 - u_1 = \frac{m_2}{m_1} \cdot (u_2 - v_2)\)

Теперь выразим u1 через v1 и v2, заменив u2 в уравнении (8) с помощью уравнения (10):

\(u_1 = v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot (u_2 - v_2)\)

Теперь, заменим \(u_2 - v_2\) в этом уравнении с помощью уравнения (10):

\(u_1 = v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot ((m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 - v_1^2) / (\frac{1}{2} \cdot m_2))\)

В итоге, мы получаем выражение для u1 через v1 и v2:

\(u_1 = v_1 + (1/64) \cdot ((63/8) \cdot v_2^2 - 7 \cdot v_1^2)\)

Аналогично, выражаем u2 через v1 и v2:

\(u_2 = v_2 - (27/64) \cdot ((3/8) \cdot v_2^2 - v_1^2)\)

Наконец, используя выражения для u1 и u2, находим отношение ускорений a1/a2:

\(a1/a2 = (u1^2 - v1^2)/(v2^2 - u2^2)\)

\(a1/a2 = ((v_1 + (1/64) \cdot ((63/8) \cdot v_2^2 - 7 \cdot v_1^2))^2 - v_1^2) / (v_2^2 - (v_2 - (27/64) \cdot ((3/8) \cdot v_2^2 - v_1^2))^2)\)

Надеюсь, данное подробное объяснение поможет вам понять решение задачи и получить нужный ответ. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!