Определите, являются ли следующие утверждения верными или неверными: Если расстояние между центрами двух несовпадающих
Определите, являются ли следующие утверждения верными или неверными: Если расстояние между центрами двух несовпадающих окружностей равно произведению их радиусов, то эти окружности имеют общую точку. Углы, опирающиеся на одну дугу вписанной окружности, равны. Если вписанный угол в окружности равен 45°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 195°. Через любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность.
Ячменка 45
Для начала, рассмотрим первое утверждение: "Если расстояние между центрами двух несовпадающих окружностей равно произведению их радиусов, то эти окружности имеют общую точку."Для опровержения этого утверждения достаточно рассмотреть ситуацию, когда окружности имеют одинаковый радиус и расположены друг относительно друга на расстоянии равным сумме их радиусов. В таком случае, расстояние между их центрами будет равно произведению их радиусов, однако окружности не имеют общих точек.
Второе утверждение гласит: "Углы, опирающиеся на одну дугу вписанной окружности, равны."
Данное утверждение является верным и оно основано на определении вписанного угла. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны - на хордах, концы которых также лежат на окружности. Так как дуга, на которую опираются стороны угла, одна и та же, то и углы, опирающиеся на эту дугу, должны быть равны.
Третье утверждение говорит: "Если вписанный угол в окружности равен 45°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 195°."
Для проверки этого утверждения, вспомним свойство вписанного угла, согласно которому вписанный угол равен половине его опираемой дуги. Если вписанный угол равен 45°, то опираемая дуга будет равна \(2 \times 45° = 90°\), а не 195°.
Наконец, четвертое утверждение звучит: "Через любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность."
Это утверждение верно и называется теоремой о том, что "Четыре точки общего положения (то есть не лежащие на одной прямой) определяют одну и только одну окружность." Эта теорема проверена и подтверждена в геометрии.
Вывод:
1. Утверждение "Если расстояние между центрами двух несовпадающих окружностей равно произведению их радиусов, то эти окружности имеют общую точку." неверно.
2. Утверждение "Углы, опирающиеся на одну дугу вписанной окружности, равны." верно.
3. Утверждение "Если вписанный угол в окружности равен 45°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 195°." неверно.
4. Утверждение "Через любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность." верно.