Перечислите все пары прямых, которые являются параллельными, и обоснуйте их параллельность

Звёздочка

35

Чтобы найти пары прямых, которые являются параллельными, мы должны знать несколько важных свойств прямых.

Свойство 1: Две прямые параллельны, если и только если их наклоны (угловые коэффициенты) равны.

Наклон прямой, также называемый ее угловым коэффициентом, можно найти, вычислив отношение изменения координат \(y\) к изменению координат \(x\) для двух точек на этой прямой.

Например, если у нас есть прямая \(y = 2x + 3\), то угловой коэффициент этой прямой равен 2.

Свойство 2: Две прямые параллельны, если и только если их угловые коэффициенты равны.

Теперь приступим к решению задачи.

Данные две прямые обозначим как \(l_1\) и \(l_2\). Пусть уравнение прямой \(l_1\) имеет вид \(y = m_1x + b_1\), а уравнение прямой \(l_2\) имеет вид \(y = m_2x + b_2\), где \(m_1\) и \(m_2\) - угловые коэффициенты соответствующих прямых, а \(b_1\) и \(b_2\) - их коэффициенты сдвига (в случае, если есть).

Для того, чтобы эти прямые были параллельными, должно выполняться условие \(m_1 = m_2\).

Теперь перечислим и обоснуем несколько параллельных прямых.

Пример 1:
Рассмотрим прямую \(l_1: y = 2x + 4\) и прямую \(l_2: y = 2x - 5\).

Оба уравнения имеют один и тот же угловой коэффициент \(m = 2\), поэтому прямая \(l_1\) параллельна прямой \(l_2\).

Пример 2:
Рассмотрим прямую \(l_3: y = -3x + 1\) и прямую \(l_4: y = -3x + 10\).

Оба уравнения также имеют одинаковый угловой коэффициент \(m = -3\), следовательно, прямая \(l_3\) параллельна прямой \(l_4\).

Пример 3:
Рассмотрим прямую \(l_5: y = \frac{1}{2}x + 6\) и прямую \(l_6: y = -2x + 9\).

В этом случае угловые коэффициенты \(m_5 = \frac{1}{2}\) и \(m_6 = -2\) различны, поэтому прямые \(l_5\) и \(l_6\) НЕ являются параллельными.

Таким образом, можем сделать вывод, что все пары прямых, у которых угловые коэффициенты \(m_1\) и \(m_2\) равны, будут параллельными. В других случаях, когда угловые коэффициенты различны, прямые не будут параллельными.