Перепишите пропущенные элементы текста. Дано: ΔABC, D – середина отрезка ВС, DP ⊥ АВ, DF ⊥ AC, DP = DF. Доказать: ΔABC

Aleksandrovna

53

Для доказательства того, что треугольник \(\Delta ABC\) является равнобедренным, мы должны использовать данные о точках D, P и F на сторонах BC, AB и AC соответственно.

Для начала, давайте обратим внимание на то, что D - середина отрезка BC. Это означает, что BD = DC.

Также дано, что PD перпендикулярен AB, а DF перпендикулярен AC. Имея перпендикулярные линии, мы можем заключить, что треугольники BPD и CFD являются прямоугольными треугольниками.

Теперь мы можем приступить к доказательству.

1. Поскольку BD = DC (так как D - середина отрезка BC), то по теореме о серединном перпендикуляре линия DP является высотой треугольника \(\Delta BPC\), а также DP является высотой треугольника \(\Delta BPD\).

2. Аналогично, DF является высотой треугольника \(\Delta CFD\).

3. Имея два прямоугольных треугольника \(\Delta BPD\) и \(\Delta CFD\), у которых высоты равны (DP = DF), мы можем сделать вывод, что эти треугольники равны.

4. Учитывая равенство треугольников BPD и CFD, мы можем заключить, что соответствующие им углы также равны: \(\angle BPD = \angle CFD\).

5. Так как треугольники \(\Delta BPD\) и \(\Delta CFD\) являются подмножествами треугольника \(\Delta ABC\), их равенство включает также равенство соответствующих им углов:

\[\angle ABC = \angle BPD\]
\[\angle BPD = \angle CFD\]
\[\angle CFD = \angle ACB\]

6. Из равенства углов \( \angle BPD = \angle CFD\) следует, что \(\angle ABC = \angle ACB\).

7. Таким образом, у нас получается, что треугольник \(\Delta ABC\) имеет две равные стороны: AB и AC (по свойству равнобедренного треугольника), а также два равных угла: \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\).

Поэтому, треугольник \(\Delta ABC\) является равнобедренным.