Перепишите пропущенные элементы текста. Дано: ΔABC, D – середина отрезка ВС, DP ⊥ АВ, DF ⊥ AC, DP = DF. Доказать: ΔABC

Aleksandrovna

53

Для доказательства того, что треугольник $\mathrm{\Delta }ABC$ является равнобедренным, мы должны использовать данные о точках D, P и F на сторонах BC, AB и AC соответственно.

Для начала, давайте обратим внимание на то, что D - середина отрезка BC. Это означает, что BD = DC.

Также дано, что PD перпендикулярен AB, а DF перпендикулярен AC. Имея перпендикулярные линии, мы можем заключить, что треугольники BPD и CFD являются прямоугольными треугольниками.

Теперь мы можем приступить к доказательству.

1. Поскольку BD = DC (так как D - середина отрезка BC), то по теореме о серединном перпендикуляре линия DP является высотой треугольника $\mathrm{\Delta }BPC$, а также DP является высотой треугольника $\mathrm{\Delta }BPD$.

2. Аналогично, DF является высотой треугольника $\mathrm{\Delta }CFD$.

3. Имея два прямоугольных треугольника $\mathrm{\Delta }BPD$ и $\mathrm{\Delta }CFD$, у которых высоты равны (DP = DF), мы можем сделать вывод, что эти треугольники равны.

4. Учитывая равенство треугольников BPD и CFD, мы можем заключить, что соответствующие им углы также равны: $\mathrm{\angle }BPD=\mathrm{\angle }CFD$.

5. Так как треугольники $\mathrm{\Delta }BPD$ и $\mathrm{\Delta }CFD$ являются подмножествами треугольника $\mathrm{\Delta }ABC$, их равенство включает также равенство соответствующих им углов:

$$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }BPD$$
$$\mathrm{\angle }BPD=\mathrm{\angle }CFD$$
$$\mathrm{\angle }CFD=\mathrm{\angle }ACB$$

6. Из равенства углов $\mathrm{\angle }BPD=\mathrm{\angle }CFD$ следует, что $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ACB$.

7. Таким образом, у нас получается, что треугольник $\mathrm{\Delta }ABC$ имеет две равные стороны: AB и AC (по свойству равнобедренного треугольника), а также два равных угла: $\mathrm{\angle }ABC$ и $\mathrm{\angle }ACB$.

Поэтому, треугольник $\mathrm{\Delta }ABC$ является равнобедренным.