Перша планета має радіус, що вдвічі більший ніж радіус другої планети: r1=2r2. Густини обох планет є однаковими

Pugayuschiy_Shaman

8

Щоб порівняти відношення першої та другої космічних швидкостей на поверхнях планет, спочатку нам потрібно визначити формули для визначення космічної швидкості на поверхні планети.

Космічна швидкість на поверхні планети визначається формулою:

\[v = \sqrt{\frac{{2GM}}{{r}}}\]

де \(v\) - космічна швидкість, \(G\) - гравітаційна стала, \(M\) - маса планети, \(r\) - радіус планети.

Маючи формулу, давайте застосуємо її для обох планет.

Для першої планети, згідно з умовою, радіус \(r_1\) удвічі більший ніж радіус \(r_2\).
\[r_1 = 2r_2\]

Тепер врахуємо визначення густини планети. Густина планети може бути визначена як відношення маси \(M\) до об"єму \(V\):
\[D=M/V\]

Але ми знаємо, що густина обох планет є однаковою, тому можемо ввести:
\[D_1 = D_2 = D\]

Згадайте, що об"єм кулі можна визначити як \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\), де \(r\) - радіус кулі.

Зараз, ми можемо використати цей вираз для визначення \(V_1\) і \(V_2\) для першої і другої планет відповідно.

\[V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 \quad \text{та} \quad V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3\]

Тепер, знаючи ці вирази, давайте визначимо масу \(M_1\) та \(M_2\) для першої і другої планет:

\[M_1 = D_1 \cdot V_1 \quad \text{та} \quad M_2 = D_2 \cdot V_2\]

Згадайте, що \(D_1 = D_2\), тому ми можемо спростити ці вирази до:

\[M_1 = D \cdot V_1 \quad \text{та} \quad M_2 = D \cdot V_2\]

Тепер, коли ми маємо вирази для маси, давайте застосуємо формулу для космічної швидкості \(v\).

Перше, розглянемо планету з радіусом \(r_1\):
\[v_1 = \sqrt{\frac{{2GM_1}}{{r_1}}}\]

І друге, розглянемо планету з радіусом \(r_2\):
\[v_2 = \sqrt{\frac{{2GM_2}}{{r_2}}}\]

Тепер застосуємо те, що ми знаємо про \(M_1\) та \(M_2\) для спрощення формул:

З виразу вище маємо \(M_1 = D \cdot V_1\) і \(M_2 = D \cdot V_2\). Підставимо це в наші формули для швидкостей:

\[v_1 = \sqrt{\frac{{2G(D \cdot V_1)}}{{r_1}}} \quad \text{та} \quad v_2 = \sqrt{\frac{{2G(D \cdot V_2)}}{{r_2}}}\]

Спростимо далі. Замість \(V_1\) підставимо вираз для об"єму кулі залежно від радіуса \(r_1\), та зробимо ті самі процедури для \(V_2\). Вони матимуть такий викладачельський вигляд і ми безпосередньо перейдемо до отриманого виразу.

\[v_1 = \sqrt{\frac{{2G(D \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3)}}{{r_1}}} \quad \text{та} \quad v_2 = \sqrt{\frac{{2G(D \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3)}}{{r_2}}}\]

Зверніть увагу, що я використовую формули для сфер, оскільки предметний педагог вказав, що планети - це кулі.

Тепер спростимо вирази, раціоналізуємо їх і об"єднаємо за допомогою обчислюваного відношення. Усунемо спрощення таким чином:

\[v_1 = \sqrt{\frac{{8GD\pi r_1^3}}{{3r_1}}} \quad \text{та} \quad v_2 = \sqrt{\frac{{8GD\pi r_2^3}}{{3r_2}}}\]

Тепер, коли ми маємо вирази для космічних швидкостей на поверхнях обох планет, давайте порівняємо їх шляхом обчислення відношення швидкостей \(v_1/v_2\):

\[\frac{{v_1}}{{v_2}} = \frac{{\sqrt{\frac{{8GD\pi r_1^3}}{{3r_1}}}}}{{\sqrt{\frac{{8GD\pi r_2^3}}{{3r_2}}}}}\]

Тепер простофіксуємо певні спрощення:

\[\frac{{v_1}}{{v_2}} = \sqrt{\frac{{\frac{{8GD\pi r_1^3}}{{3r_1}}}}{{\frac{{8GD\pi r_2^3}}{{3r_2}}}}}\]

Скоротимо спільні множники та спрощений вираз відношення виглядатиме наступним чином:

\[\frac{{v_1}}{{v_2}} = \sqrt{\frac{{r_2^3}}{{r_1^3}}}\]

За кінцевий відповіддю, порівнюємо відношення швидкостей на поверхнях планет:

\[\frac{{v_1}}{{v_2}} = \sqrt{\frac{{r_2^3}}{{r_1^3}}}\]