Подтвердите, что четырехугольник abcd с вершинами в точках А(6,7,8) В(8,2,6) С(4,3,2)D(2,8,4) является

Zvezdopad_Feya

63

Чтобы подтвердить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы должны проверить два условия: противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны.

1. Проверка параллельности:
Для этого мы можем использовать векторное произведение. Если векторное произведение двух сторон равно нулю, то эти две стороны параллельны друг другу.

Вспомним, что вектор задается двумя точками. Для каждой стороны четырехугольника ABCD найдем соответствующие векторы:

Вектор AB = (8-6, 2-7, 6-8) = (2, -5, -2)
Вектор BC = (4-8, 3-2, 2-6) = (-4, 1, -4)
Вектор CD = (2-4, 8-3, 4-2) = (-2, 5, 2)
Вектор DA = (6-2, 7-8, 8-4) = (4, -1, 4)

Теперь найдем векторное произведение AB и CD:

AB x CD =
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -5 & -2 \\
-2 & 5 & 2 \\
\end{vmatrix}
\]

Раскроем определитель:

= (5 * 2 - (-5) * (-2))\mathbf{i} - (2 * 2 - (-5) * (-2))\mathbf{j} + (2 * (-5) - (-2) * 5)\mathbf{k}

= (10 - 10)\mathbf{i} - (4 - 10)\mathbf{j} + (-10 + 10)\mathbf{k}

= 0\mathbf{i} - (-6)\mathbf{j} + 0\mathbf{k}

= (0, 6, 0)

Получили, что AB x CD = (0, 6, 0).

Теперь найдем векторное произведение BC и DA:

BC x DA =
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-4 & 1 & -4 \\
4 & -1 & 4 \\
\end{vmatrix}
\]

Раскроем определитель:

= (1 * 4 - (-1) * (-4))\mathbf{i} - (-4 * 4 - (-1) * 4)\mathbf{j} + (-4 * (-1) - 4 * 1)\mathbf{k}

= (4 + 4)\mathbf{i} - (-16 - 4)\mathbf{j} + (-4 + 4)\mathbf{k}

= 8\mathbf{i} - (-20)\mathbf{j} + 0\mathbf{k}

= (8, 20, 0)

Получили, что BC x DA = (8, 20, 0).

Теперь у нас есть два векторных произведения AB x CD и BC x DA. Векторные произведения равны друг другу?

AB x CD = (0, 6, 0)
BC x DA = (8, 20, 0)

Мы видим, что компоненты x и z равны нулю для обоих векторных произведений, а компоненты y отличаются (6 и 20). Таким образом, AB и CD не параллельны, и четырехугольник ABCD не является параллелограммом.

2. Проверка равенства сторон:
Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, противоположные стороны должны быть равны.
Длины сторон:
AB = √(2^2 + (-5)^2 + (-2)^2) = √(4 + 25 + 4) = √33
BC = √((-4)^2 + 1^2 + (-4)^2) = √(16 + 1 + 16) = √33
CD = √((-2)^2 + 5^2 + 2^2) = √(4 + 25 + 4) = √33
DA = √(4^2 + (-1)^2 + 4^2) = √(16 + 1 + 16) = √33

Мы видим, что AB = BC = CD = DA = √33. Следовательно, стороны равны друг другу.

Таким образом, количество параллельных сторон равно нулю, а количество равных сторон равно четырем. Поэтому четырехугольник ABCD не является параллелограммом.