Подтвердите, что длина отрезка между двумя точками, отмеченными на катетах прямоугольного треугольника, не превышает

Звездопад_Фея_7693

2

Для начала, давайте рассмотрим рисунок 17.16 с прямоугольным треугольником.

У нас есть треугольник ABC, где AB и AC - это катеты, а BC - гипотенуза. Предположим, что M и N - это точки, отмеченные на катетах AB и AC соответственно.

Мы хотим доказать, что длина отрезка MN не превышает длину гипотенузы BC.

Для начала, давайте посмотрим на треугольники AMN и ABC. Оба этих треугольника имеют общий угол угол B.

Используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение для треугольника AMN:

\[\frac{{MN}}{{\sin(\angle AMN)}} = \frac{{AN}}{{\sin(\angle MAN)}}\]

Аналогично, для треугольника ABC, мы можем записать:

\[\frac{{BC}}{{\sin(\angle B)}} = \frac{{AC}}{{\sin(\angle ACB)}}\]

Так как AMN и ABC - это прямоугольные треугольники, то угол AMN = угол B и угол ACB = 90 градусов.

Заметим, что sin(угол B) = sin(угол AMN) и sin(угол ACB) = 1, так как sin(90 градусов) = 1.

Теперь давайте сравним соотношения:

\[\frac{{MN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}}\]

Умножим оба выражения на AN и получим:

\[MN = \frac{{AN}}{{AC}} \cdot BC\]

Согласно свойству отношений в подобных треугольниках, мы знаем, что \(\frac{{AN}}{{AC}}\) - это отношение длин, соответствующих сторон в подобных треугольниках, равно отношению длин соответствующих сторон.

Таким образом, \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\[MN = \frac{{MN}}{{BC}} \cdot BC\]

Теперь давайте уберем MN из знаменателя, перенеся его налево:

\[MN - \frac{{MN}}{{BC}} \cdot BC = 0\]

Теперь факторизуем левую часть:

\[MN(1 - \frac{{BC}}{{BC}}) = 0\]

Упростим второй множитель:

\[MN(1 - 1) = 0\]

\[MN \cdot 0 = 0\]

Так как произведение любого числа на ноль равно нулю, имеем:

\[0 = 0\]

Таким образом, у нашего уравнения есть одно и только одно решение, а именно MN = 0.

Из этого следует, что длина отрезка MN равна нулю, что означает, что отрезок MN вписывается внутрь катетов и не превышает длину гипотенузы треугольника.

Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.