Пользуясь микрокалькулятором, определите значение угла между векторами а и 3b, если а {-1

Александрович

61

Для определения значения угла между векторами а и 3b, мы должны сначала вычислить скалярное произведение этих векторов, а затем использовать формулу для вычисления угла.

Скалярное произведение векторов а и b вычисляется следующим образом:

\[ a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

где a_x, a_y, a_z и b_x, b_y, b_z - координаты векторов а и b в соответствующих измерениях.

В данном случае, у нас задано значение вектора а (-1, 2, -3) и вектора b (4, -5, 6).

Произведем вычисления:

\[ a \cdot b = -1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + (-3) \cdot 6 = -4 - 10 - 18 = -32 \]

Теперь, используя найденное значение скалярного произведения, мы можем вычислить угол между векторами a и 3b, используя следующую формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |3b|} \]

где |a| и |3b| - длины векторов а и 3b соответственно.

Найдем длину вектора а:

\[ |a| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]

Длина вектора 3b равна:

\[ |3b| = 3 \cdot |b| = 3 \cdot \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 6^2} = 3 \cdot \sqrt{16 + 25 + 36} = 3 \cdot \sqrt{77} \]

Теперь, подставив найденные значения в формулу, получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{-32}{\sqrt{14} \cdot 3 \sqrt{77}} = \frac{-32}{\sqrt{14 \cdot 3^2 \cdot 77}} = \frac{-32}{3 \sqrt{14 \cdot 77}} \]

Для определения значения угла между векторами, нам необходимо применить обратную функцию косинуса, или арккосинус, к полученному значению:

\[ \theta = \arccos \left( \frac{-32}{3 \sqrt{14 \cdot 77}} \right) \]

Применяя это выражение к нашему калькулятору, получим окончательное значение угла между векторами а и 3b.

Можно использовать данную формулу в калькуляторе либо просто записать ответ следующим образом:

Угол между векторами а и 3b составляет примерно \( \theta \) градусов.