После возвращения домой поздно вечером, водопроводчику Васе нужно попасть в свою квартиру, для чего у него есть связка

Григорьевич

30

В данной задаче мы должны найти ожидаемое количество попыток, которые понадобятся Васе, чтобы открыть дверь и попасть домой.

Пусть \(a\) - это ожидаемое количество попыток Васи до попытки в пятницу, а \(b\) - ожидаемое количество попыток Васи в пятницу.

Первая попытка Васи может быть успешной, то есть с вероятностью \(\frac{1}{n}\), либо неудачной, с вероятностью \(\frac{n-1}{n}\). Если первая попытка не успешна, то Вася исключает неподходящий ключ из дальнейших проверок. Таким образом, ожидаемое количество оставшихся ключей становится \(n-1\), и в следующей попытке вероятность успешного открытия двери становится \(\frac{1}{n-1}\).

По аналогичным рассуждениям, если первая попытка Васи в пятницу неудачна, то оставшихся ключей будет \(n-2\), и вероятность успешного открытия двери в следующей попытке станет \(\frac{1}{n-2}\).

Суммарное ожидаемое количество попыток до успешного открытия двери можно записать следующим образом:

\[a = \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n} (1 + a)\]

Пояснение к уравнению:
- \(\frac{1}{n}\) - это вероятность успешной попытки Васи в первую попытку, а \(\frac{n-1}{n}\) - неудачной попытки.
- \(1 + a\) - это количество оставшихся попыток Васи после неудачной первой попытки, умноженное на вероятность неудачной попытки (так как в следующей попытке Вася уже имеет на одну попытку меньше).

Решая данное уравнение относительно \(a\), получаем:

\[a = n\]

Теперь рассмотрим вероятность успешной попытки Васи в пятницу. Если предположить, что в пятницу остался только один ключ (то есть \(n=1\)), то вероятность успешной попытки будет \(\frac{1}{1}\) (так как остался только один ключ), что эквивалентно \(1\). С другой стороны, \(b\) - это ожидаемое количество попыток Васи в пятницу, поэтому \(b=1\).

Таким образом, ожидаемое количество попыток, которые понадобятся Васе, чтобы открыть дверь и попасть домой, равно \(n+b = n+1\).

Ответ: \(n+1\) попытка.