Постройте геометрическую форму, которая определяется пересечением графиков функций y = f(x) и y = g(x), вертикальными

Kuzya

59

Для начала, построим графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\).

Функция \(f(x)=x+5\) - это прямая линия с наклоном 1 и смещением вверх на 5 единиц.

Функция \(g(x)=\frac{6}{x}\) - это гипербола, которая пересекает ось абсцисс в точке (6, 0) и имеет асимптоты x=0 и y=0.

Теперь воспользуемся вертикальными линиями \(x=a\) и \(x=b\), где \(a=-2\) и \(b=6\), чтобы определить границы пересечения графиков функций.

Построим графики и рассмотрим заданные вертикальные линии:

\[
\begin{align*}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
y &= f(x) \\
y &= x + 5
\end{align*}
\]

Graph1: Plot f(x) = x + 5
Graph2: Plot g(x) = 6/x

Graph3: Add vertical line x = -2
Graph4: Add vertical line x = 6

Graph5: Add x-axis

Graph6: Combine Graph1, Graph2, Graph3, Graph4, and Graph5

\[
\begin{align*}
\end{align*}
\]

Теперь нам нужно рассчитать площадь фигуры, образованной графиками функций \(f(x)\), \(g(x)\), вертикальными линиями \(x=a\) и \(x=b\), и осью абсцисс. Мы будем использовать метод интеграла для этого.

Площадь между двумя кривыми и вертикальными линиями может быть рассчитана с помощью определенного интеграла:

\[
\text{Площадь} = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \,dx
\]

В данном случае \(f(x) = x + 5\) и \(g(x) = \frac{6}{x}\). Подставим значения \(a = -2\) и \(b = 6\) в формулу:

\[
\text{Площадь} = \int_{-2}^{6} |(x + 5) - \frac{6}{x}|\, dx
\]

\[
\text{Площадь} = \int_{-2}^{6} \left|x + 5 - \frac{6}{x}\right|\, dx
\]

Теперь решим этот интеграл пошагово.

1. Разобъем интервал интегрирования \([-2, 6]\) на несколько подынтервалов.
2. В каждом подынтервале определим, какая из функций \(f(x)\) или \(g(x)\) находится выше (больше по значению) и какая ниже (меньше по значению).
3. Запишем и разрешим интеграл на каждом подынтервале, используя соответствующую функцию.
4. Просуммируем результаты интегралов на каждом подынтервале.

Перейдем к следующему сообщению, чтобы продолжить решение данной задачи.