Постройте квадрат ABCD на координатной плоскости с вершинами в точках A(-5;7) B(1;5) C(-1;-1) D(-7;1). В) Определите

Ruslan

64

Шаг 1: Найдем уравнения прямых, содержащих диагонали AC и BD.

Диагональ AC проходит через точки A(-5;7) и C(-1;-1). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки, используя формулу наклона (slope):

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек на прямой.

Для диагонали AC:

\[k_1 = \frac{{-1 - 7}}{{-1 - (-5)}}\]

\[k_1 = \frac{{-8}}{{4}} = -2\]

Теперь, зная наклон прямой и одну из точек, можем записать уравнение прямой в форме y = mx + b, где m - наклон, b - y-перехват:

\[y = -2x + b_1\]

Подставим координаты точки A(-5;7) в это уравнение, чтобы найти b1:

\[7 = -2 \cdot -5 + b_1\]

\[7 = 10 + b_1\]

\[b_1 = -3\]

Таким образом, уравнение прямой, содержащей диагональ AC, будет:

\[y = -2x - 3\]

Аналогично, диагональ BD проходит через точки B(1;5) и D(-7;1). Найдем уравнение прямой, содержащей диагональ BD:

\[k_2 = \frac{{1 - 5}}{{-7 - 1}}\]

\[k_2 = \frac{{-4}}{{-8}} = \frac{1}{2}\]

Найдем y-перехват b2, используя точку B(1;5):

\[5 = \frac{1}{2} \cdot 1 + b_2\]

\[5 = \frac{1}{2} + b_2\]

\[b_2 = \frac{9}{2}\]

Таким образом, уравнение прямой, содержащей диагональ BD, будет:

\[y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2}\]

Шаг 2: Найдем точку пересечения диагоналей AC и BD, которую обозначим как точку E.

Для этого приравняем уравнения прямых:

\[-2x - 3 = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2}\]

Перенесем все слагаемые с x на одну сторону уравнения, чтобы найти координату x точки E:

\[-2x - \frac{1}{2}x = \frac{9}{2} + 3\]

\[-\frac{5}{2}x = \frac{15}{2}\]

\[x = -3\]

Теперь, найдем координату y точки E, подставив полученное значение x в одно из уравнений:

\[y = -2 \cdot (-3) - 3\]

\[y = 6 - 3 = 3\]

Таким образом, координаты точки E, где диагонали AC и BD пересекаются, равны (-3; 3).

Шаг 3: Найдем координаты точки пересечения луча CD с осями координат.

Луч CD задается точкой C(-1;-1) и направляющим вектором, который можно найти через разность координат точки C и точки D(-7;1):

\[\vec{v} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-7 - (-1), 1 - (-1)) = (-6, 2)\]

Итак, уравнение луча CD будет:

\[x = -1 + (-6)t\]
\[y = -1 + 2t\]

Чтобы найти точку пересечения луча CD с осью x, приравняем y к нулю:

\[0 = -1 + 2t\]

\[t = \frac{1}{2}\]

Подставим полученное значение t в выражение для x:

\[x = -1 + (-6) \cdot \frac{1}{2}\]

\[x = -1 - 3 = -4\]

Таким образом, координаты точки пересечения луча CD с осью x равны (-4; 0).

Аналогично, чтобы найти точку пересечения луча CD с осью y, приравняем x к нулю:

\[0 = -1 + (-6)t\]

\[-6t = 1\]

\[t = -\frac{1}{6}\]

Подставим полученное значение t в выражение для y:

\[y = -1 + 2 \cdot (-\frac{1}{6})\]

\[y = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}\]

Таким образом, координаты точки пересечения луча CD с осью y равны (0; -\frac{4}{3}).

Вот ответ на вашу задачу:
В) Координаты точки E равны (-3; 3).
Г) Координаты точки, в которой луч CD пересекает оси координат, равны (-4; 0) и (0; -\frac{4}{3}).