Пожалуйста, найдите скалярное произведение AC(BC-AB) для точек A(0;0), B(2;1) и C(1;-1). А также докажите

Ten

28

Для начала, найдем векторы AB, BC и AC, используя координаты точек A, B и C.

Вектор AB можно найти как разность координат точек B и A:
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

Вектор BC можно найти как разность координат точек C и B:
\[
\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Вектор AC можно найти как разность координат точек C и A:
\[
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ -1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\]

Теперь, чтобы найти скалярное произведение AC(BC-AB), умножим вектор AC на разность BC и AB, а затем найдем скалярное произведение полученного вектора на AC.

Сначала найдем разность BC и AB:
\[
\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ -2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -3\end{pmatrix}
\]

Теперь умножим полученный вектор на AC:
\[
\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = (-3)(1) + (-3)(-1) = -3 - 3 = -6
\]

Таким образом, скалярное произведение AC(BC-AB) равно -6.

Теперь докажем, что треугольник ABC является остроугольным. Чтобы это сделать, нужно проверить, что сумма квадратов длин двух меньших сторон больше квадрата длины самой большой стороны.

Найдем длины сторон треугольника ABC:
AB = \(\sqrt{(2-0)^{2} + (1-0)^{2}} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}\)

BC = \(\sqrt{(1-2)^{2} + (-1-1)^{2}} = \sqrt{(-1)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\)

AC = \(\sqrt{(1-0)^{2} + (-1-0)^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\)

Теперь проверим неравенство треугольника для трех сторон:

AB^2 + BC^2 > AC^2:
\((\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{5})^{2} > (\sqrt{2})^{2}\)
\(5 + 5 > 2\)
\(10 > 2\)

Учитывая, что неравенство выполняется (\(10 > 2\)), мы можем сделать вывод, что треугольник ABC является остроугольным.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в задаче и понять, как решать подобные задачи!