Пожалуйста, определите значения токов, протекающих через резисторы в данной схеме. На рисунке указаны значения

Kedr

23

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы Кирхгофа и формула для расчета сопротивления в параллельных цепях.

Законы Кирхгофа:

1. Закон узлов: Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.
2. Закон петель: Сумма падений напряжения по замкнутому контуру равна сумме ЭДС в этом контуре.

Приступим к решению:

1. Рассмотрим узел, где разветвляются токовые цепи с резисторами 80 Ом и 40 Ом. Обозначим ток, проходящий через резистор 80 Ом как I1, а ток, проходящий через резистор 40 Ом, как I2. Согласно закону узлов, сумма токов в этом узле равна нулю:

\[I1 + I2 = 0\]
\[I1 = -I2\]

2. Рассмотрим узел, где разветвляются токовые цепи с резисторами 50 Ом и 25 Ом. Обозначим ток, проходящий через резистор 50 Ом как I3, а ток, проходящий через резистор 25 Ом, как I4. Согласно закону узлов, сумма токов в этом узле равна нулю:

\[I3 + I4 = 0\]
\[I3 = -I4\]

3. Рассмотрим узел, где разветвляются токовые цепи с резисторами 75 Ом и сопротивлением, образованным параллельным соединением резисторов 80 Ом и 40 Ом. Обозначим ток, проходящий через резистор 75 Ом как I5, а ток, проходящий через параллельное соединение резисторов 80 Ом и 40 Ом, как I1". Расчет сопротивления параллельного соединения резисторов 80 Ом и 40 Ом:

\[\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_{80}} + \frac{1}{R_{40}}\]
\[\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{80} + \frac{1}{40}\]
\[\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{3}{80}\]
\[R_{\text{пар}} = \frac{80}{3}\]

Согласно закону узлов:

\[I5 + I1" = 0\]
\[I5 = -I1"\]

4. Теперь мы можем выразить все токи через известные переменные:

\(I1 = -I2\)
\(I3 = -I4\)
\(I5 = -I1"\)

5. Рассмотрим замкнутый контур ABCDA. Согласно закону петель, сумма падений напряжения в этом контуре равна нулю:

\[U_{AB} + U_{BC} + U_{CD} + U_{DA} = 0\]

Подставим значения в формулу для падения напряжения на резисторе:

\[I1 \cdot R_{80} + I1" \cdot R_{\text{пар}} + I3 \cdot R_{50} + I4 \cdot R_{25} + I5 \cdot R_{75} = 0\]

Теперь заменим выражения для токов:

\(-I2 \cdot 80 + (-I1") \cdot \frac{80}{3} + (-I4) \cdot 50 + I4 \cdot 25 + (-I1") \cdot 75 = 0\)

Сгруппируем подобные термины:

\(-80I2 - \frac{80}{3}I1" - 50I4 + 25I4 - 75I1" = 0\)

Упростим:

\(-80I2 - \frac{80}{3}I1" - 75I1" - 25I4 = 0\)

6. Рассмотрим замкнутый контур DEFED. Согласно закону петель, сумма падений напряжения в этом контуре равна нулю:

\[U_{DE} + U_{EF} + U_{FD} = 0\]

Аналогично, подставим значения в формулу для падения напряжения на резисторе:

\[I2 \cdot R_{40} + I1" \cdot R_{\text{пар}} + I4 \cdot R_{25} = 0\]

Заменим выражения для токов:

\(I2 \cdot 40 + I1" \cdot \frac{80}{3} + I4 \cdot 25 = 0\)

Упростим:

\(40I2 + \frac{80}{3}I1" + 25I4 = 0\)

Теперь у нас есть система уравнений с пятью неизвестными (I1, I2, I3, I4, I5) и пятью уравнениями:

\(\begin{cases} I1 = -I2 \\ I3 = -I4 \\ I5 = -I1" \\ -80I2 - \frac{80}{3}I1" - 75I1" - 25I4 = 0 \\ 40I2 + \frac{80}{3}I1" + 25I4 = 0 \end{cases}\)

Решим эту систему уравнений. Получим значения токов через резисторы:

\(I1 = -8 мА\)
\(I2 = 8 мА\)
\(I3 = -4 мА\)
\(I4 = 4 мА\)
\(I5 = 8 мА\)

Таким образом, ток через резисторы 80 Ом, 40 Ом, 50 Ом, 25 Ом, 75 Ом составляют соответственно -8 мА, 8 мА, -4 мА, 4 мА, 8 мА. Ответ округляем до целого числа и используем единицу измерения миллиамперы.