Пожалуйста, решите уравнение, которое состоит из 3 синус х минус 5 косинус х. Сейчас проходит контрольная работа

Belchonok

26

Хорошо, давайте решим данное уравнение. Уравнение, которое мы должны решить, выглядит следующим образом:

\[3\sin x - 5\cos x = 0\]

Для начала, давайте посмотрим, можем ли мы привести это уравнение к более простому виду. Заметим, что оба синус и косинус относятся к тригонометрическим функциям. Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы избавиться от одной из этих функций.

Мы можем избавиться от \(\cos x\) в данном уравнении, используя тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Домножим оба выражения в уравнении на \(\sin x\):

\[3\sin^2 x - 5\sin x \cos x = 0\]

Теперь мы можем использовать замену \(\sin x = t\), где \(t\) - новая переменная:

\[3t^2 - 5tc = 0\]

Мы можем разложить это уравнение на множители:

\[t(3t - 5c) = 0\]

Теперь нам нужно найти значения переменной \(t\), которые удовлетворяют данному уравнению. У нас есть два множителя в левой части уравнения: \(t\) и \(3t - 5c\).

Первый множитель \(t\) равен нулю, когда \(t = 0\). Второй множитель \(3t - 5c\) равен нулю, когда \(3t = 5c\).

Теперь давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. Когда \(t = 0\), подставим это значение обратно в наше уравнение:

\[3(0) - 5\cos x = 0\]

Отсюда мы получаем \(-5\cos x = 0\). Чтобы это уравнение было верным, необходимо, чтобы \(\cos x = 0\). Это происходит, когда \(x\) равно \(\frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n\) - целое число.

2. Когда \(3t - 5c = 0\), подставим это значение обратно в наше уравнение:

\[3t - 5\cos x = 0\]

Мы уже знаем, что \(t = \sin x\), поэтому можем записать это уравнение как:

\[3\sin x - 5\cos x = 0\]

Таким образом, второй случай тождественно равен исходному уравнению.

Итак, у нас есть два типа решений:

1. Когда \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n\) - целое число.
2. Когда \(3\sin x - 5\cos x = 0\).

Надеюсь, это решение поможет вам на контрольной работе. Удачи!