Предоставлены три точки а (2; 3), b(-2; 0), с(2; – 3). Точка 0 - начало координат. Разложите вектор о на векторы

Chernaya_Roza_3739

2

Для начала, давайте найдем векторы ab и ac. Для этого нужно вычислить разности по координатам:

Вектор ab:
\[
\vec{ab} = (x_b - x_a, y_b - y_a) = (-2 - 2, 0 - 3) = (-4, -3)
\]

Вектор ac:
\[
\vec{ac} = (x_c - x_a, y_c - y_a) = (2 - 2, -3 - 3) = (0, -6)
\]

Теперь разложим вектор о на векторы ab и ac. Мы можем записать вектор о как комбинацию этих двух векторов, умноженных на некоторые коэффициенты:

\[
\vec{o} = \lambda \cdot \vec{ab} + \mu \cdot \vec{ac}
\]

где \(\lambda\) и \(\mu\) - коэффициенты разложения, которые нам нужно найти.

Раскрываем выражение:

\[
(x_o, y_o) = \lambda \cdot (-4, -3) + \mu \cdot (0, -6)
\]

\[
(x_o, y_o) = (-4\lambda, -3\lambda) + (0, -6\mu)
\]

Теперь нам нужно приравнять каждую компоненту вектора о к соответствующим компонентам справа от равенства:

\[
x_o = -4\lambda + 0
\]

\[
y_o = -3\lambda - 6\mu
\]

Поскольку в векторе о первая компонента равна 2, а вторая компонента равна -3, мы можем записать систему уравнений:

\[
-4\lambda + 0 = 2
\]

\[
-3\lambda - 6\mu = -3
\]

Решим первое уравнение относительно \(\lambda\):

\[
-4\lambda = 2
\]

\[
\lambda = -\frac{1}{2}
\]

Подставим значение \(\lambda\) во второе уравнение и решим его относительно \(\mu\):

\[
-3\left(-\frac{1}{2}\right) - 6\mu = -3
\]

\[
\frac{3}{2} - 6\mu = -3
\]

\[
-6\mu = -\frac{9}{2}
\]

\[
\mu = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

Итак, получили значения \(\lambda = -\frac{1}{2}\) и \(\mu = \frac{3}{4}\).

Отношение коэффициентов разложения \(\frac{\mu}{\lambda}\) равно:

\[
\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{-2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\]

Таким образом, отношение коэффициентов разложения равно \(\frac{3}{2}\).