Предположим, что mp и kr - это высоты остроугольного треугольника mnk, а s и t - это основания перпендикуляров

Галина

23

Чтобы доказать, что \(sr = pt\), мы можем использовать теорему о прямоугольных треугольниках и свойства подобия треугольников.

Вспомним, что высота треугольника - это отрезок, проведённый от вершины треугольника к основанию, перпендикулярно к этому основанию. Значит, \(mp\) и \(kr\) - это высоты остроугольного треугольника \(mnk\).

Теперь рассмотрим перпендикуляры, опущенные на прямую \(pr\) из точек \(m\) и \(k\) соответственно. Обозначим точку их пересечения как \(q\).

Треугольник \(mrq\) и треугольник \(kpq\) являются прямоугольными треугольниками, так как их стороны перпендикулярны друг другу (сторона \(mr\) перпендикулярна стороне \(pr\), а сторона \(kq\) перпендикулярна стороне \(pr\)).

Теперь мы знаем, что треугольники \(mrq\) и \(kpq\) подобны, так как у них совпадают углы при вершине \(q\) (по свойству прямоугольных треугольников) и угол \(r\) (общий угол).

Так как треугольники \(mrq\) и \(kpq\) подобны, мы можем установить пропорцию между их сторонами:

\[
\frac{{mr}}{{mq}} = \frac{{kp}}{{kq}}
\]

Теперь давайте сравним отрезки \(sr\) и \(pt\). Отрезок \(sr\) является высотой треугольника \(mrq\), а отрезок \(pt\) - высотой треугольника \(kpq\).

Таким образом, мы можем запросто установить, что:

\[
\frac{{sr}}{{mq}} = \frac{{pt}}{{kq}}
\]

Теперь, используя установленную пропорцию:

\[
\frac{{mr}}{{mq}} = \frac{{kp}}{{kq}}
\]

Мы можем заметить, что у нас есть равные значения в числителях и знаменателях пропорций:

\[
mr = kp \quad \text{и} \quad mq = kq
\]

Подставляя эти значения в уравнение выше:

\[
\frac{{sr}}{{mq}} = \frac{{pt}}{{kq}}
\]

Мы можем заметить, что \(mr = kp\) и \(mq = kq\) означают:

\[
\frac{{sr}}{{mq}} = \frac{{pt}}{{kq}} = \frac{{sr}}{{mq}} = \frac{{pt}}{{mq}}
\]

То есть \(sr = pt\), что и требовалось доказать.