Представьте формулу для вычисления суммы кубов (см. изображение

Блестящая_Королева

18

Конечно! Формула для вычисления суммы кубов называется формулой суммы кубов и имеет вид:

\[S(n) = (1^3) + (2^3) + (3^3) + \ldots + (n^3)\]

где \(S(n)\) - сумма кубов, а \(n\) - количество чисел, для которых вы хотите найти сумму кубов.

Формула суммы кубов может быть записана и в более компактной форме, используя сумму арифметической прогрессии:

\[S(n) = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\]

Теперь, пошагово разберем, как получить эту формулу.

1. Разберемся с обозначениями:
- \(S(n)\) - это сумма кубов для \(n\) чисел.
- \((1^3) + (2^3) + (3^3) + \ldots + (n^3)\) - это сумма всех кубов чисел от 1 до \(n\).

2. Выявим закономерность:
Посмотрим на примере нескольких чисел:
\((1^3) + (2^3) + (3^3) + (4^3) = 1 + 8 + 27 + 64 = 100\)
\((1^3) + (2^3) + (3^3) + (4^3) + (5^3) = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225\)

Можно заметить, что каждое следующее число является кубом следующего натурального числа. То есть:
\((n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\)

Используя данную закономерность, перепишем формулу:
\((1^3) + (2^3) + (3^3) + \ldots + (n^3) = \left(\frac{(n+1)n}{2}\right)^2\)

3. Упростим формулу:
\[(n+1)n = n^2 + n\]

Подставим это значение в формулу:
\[\left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\]

Итак, мы получили окончательную формулу для вычисления суммы кубов:

\[S(n) = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\]

Теперь, зная эту формулу, вы сможете вычислить сумму кубов для любого заданного количества чисел \(n\).