При каких условиях будет равна нулю равнодействующая трех сил с величинами 12, 8 и 4 Н? Когда равнодействующая равна

Валерия

53

Для решения задачи о равнодействующей трех сил, нам необходимо учесть соотношение между отдельными силами и направлениями, в которых они приложены.

В первом случае, когда равнодействующая сил равна нулю, сумма векторов сил должна быть равна нулевому вектору. Это означает, что треугольник, образованный векторами сил, должен быть замкнутым. То есть, конец последнего вектора должен совпадать с началом первого. Давайте визуализируем это на графике.

\[
\begin{array}{cccc}
& & \uparrow & \\
& & \text{Вектор 12 Н} & \\
& & \uparrow & \\
& \text{Начало} & & \text{Конец} \\
\text{Вектор 4 Н} & \longrightarrow & \oplus & \longleftarrow \text{Вектор 8 Н} \\
& & \downarrow & \\
& & \text{Вектор 4 Н} & \\
& & \downarrow &
\end{array}
\]

На графике мы видим, что если векторы сил равны по модулю и направлены друг к другу, то их равнодействующая будет равна нулю. Таким образом, для данной задачи, когда равнодействующая равна нулю, условие будет:

\[
|12| = |8 + 4|
\]

\[
12 = 12
\]

Во втором случае, когда равнодействующая сил равна 16 Н, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла между векторами. Опять же, визуализируем это на графике:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \uparrow & \\
& & \text{Вектор 12 Н} & \\
& & \uparrow & \\
& \text{Начало} & & \text{Конец} \\
\text{Вектор 4 Н} & \longrightarrow & \oplus & \longleftarrow \text{Вектор 8 Н} \\
& & \downarrow & \\
& & \text{Вектор 4 Н} & \\
& & \downarrow &
\end{array}
\]

Теперь нам нужно найти угол между векторами 8 Н и 12 Н. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Применяя теорему косинусов, имеем:

\[
16^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos \theta
\]

\[
256 = 64 + 144 - 192 \cdot \cos \theta
\]

\[
192 \cdot \cos \theta = 144
\]

\[
\cos \theta = \frac{144}{192}
\]

\[
\cos \theta = \frac{3}{4}
\]

Зная значение \(\cos \theta\), мы можем найти сам угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса, которая называется арккосинус (или \(\arccos\)). Это даст нам равнодействующую силы в задаче:

\[
\theta = \arccos \left( \frac{3}{4} \right)
\]

\[
\theta \approx 41.41^\circ
\]

Теперь мы можем адаптировать график для случая, когда равнодействующая сил равна 16 Н:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \uparrow & \\
& & \text{Вектор 12 Н} & \\
& & \uparrow & \\
& \text{Начало} & & \text{Конец} \\
\text{Вектор 4 Н} & \longrightarrow & \oplus & \longleftarrow \text{Вектор 8 Н} \\
& & \downarrow & \\
& & \text{Вектор 4 Н} & \\
& & \downarrow &
\end{array}
\]

Мы видим, что теперь угол между векторами 8 Н и 12 Н составляет приблизительно \(41.41^\circ\). Их равнодействующая будет направлена в направлении вектора 12 Н и будет иметь величину 16 Н.