При каких значениях p у корней уравнения x^2+2(p-1)+p(p-3) будут разные знаки?

Петя

47

Чтобы найти значения параметра \(p\), при которых корни данного уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) будут иметь разные знаки, мы можем использовать метод анализа дискриминанта.

1. Начнем с раскрытия скобок в заданном уравнении:
\[x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\]

2. Записываем уравнение в стандартной форме, чтобы более ясно видеть коэффициенты:
\[x^2 + 2px - 2x + p^2 - 3p\]

3. Сгруппируем слагаемые, соответствующие \(x\), чтобы выделить полные квадраты:
\[(x^2 + 2px - 2x) + (p^2 - 3p)\]

4. Факторизуем полные квадраты:
\[(x^2 + 2px - 2x) + p(p - 3)\]
\[(x(x + 2p - 2)) + p(p - 3)\]

5. Теперь у нас есть уравнение в виде суммы двух слагаемых, каждое содержит \(x\). Мы хотим найти значения \(p\), которые сделают знаки этих двух слагаемых разными.

6. Разберем два случая:

- Слагаемое \(x(x + 2p - 2)\):

- Если \(x\) положительно, то \(x + 2p - 2\) должно быть отрицательным, чтобы получить положительное значение слагаемого.
- Если \(x\) отрицательно, то \(x + 2p - 2\) должно быть положительным, чтобы получить отрицательное значение слагаемого.

- Слагаемое \(p(p - 3)\):

- Если \(p\) положительно, то \(p - 3\) должно быть отрицательным, чтобы получить положительное значение слагаемого.
- Если \(p\) отрицательно, то \(p - 3\) должно быть положительным, чтобы получить отрицательное значение слагаемого.

7. Для того чтобы слагаемые имели разные знаки, необходимо и достаточно, чтобы одно из условий выполнялось (причем оба условия выполняться не могут одновременно):

- \(x > 0\) и \(x + 2p - 2 < 0\) (слагаемое \(x(x + 2p - 2)\) положительно, а слагаемое \(p(p - 3)\) отрицательно).

Решаем неравенство \(x > 0\) и получаем \(x > 0\).

Затем решаем неравенство \(x + 2p - 2 < 0\), получаем \(x < 2 - 2p\).

- \(x < 0\) и \(x + 2p - 2 > 0\) (слагаемое \(x(x + 2p - 2)\) отрицательно, а слагаемое \(p(p - 3)\) положительно).

Решаем неравенство \(x < 0\) и получаем \(x < 0\).

Затем решаем неравенство \(x + 2p - 2 > 0\), получаем \(x > 2 - 2p\).

8. Теперь у нас есть два неравенства для возможных значений \(x\):

- \(x > 0\) и \(x < 2 - 2p\)
- \(x < 0\) и \(x > 2 - 2p\)

9. Объединим эти два случая. Они выполняются одновременно только при:
\[0 < x < 2 - 2p\]

10. Теперь рассмотрим неравенство для \(p(p - 3)\):

- Если \(p > 0\), то \(p - 3 < 0\), что дает нам \(p < 3\).
- Если \(p < 0\), то \(p - 3 > 0\), что дает нам \(p > 3\).

11. В итоге, чтобы корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) имели разные знаки, необходимо, чтобы выполнялись два условия:

- \(0 < x < 2 - 2p\)
- \(p < 3\) или \(p > 3\)

Таким образом, значения параметра \(p\) должны быть меньше 3 или больше 3, чтобы корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) имели разные знаки.