При каком угле наклона орудия достигается наибольшая дальность полета снаряда?

Магический_Трюк

55

Чтобы определить угол наклона орудия, при котором достигается наибольшая дальность полета снаряда, мы можем использовать знания из физики и законы движения тела под углом.

Для начала, давайте вспомним, что дальность полета снаряда зависит от его начальной скорости, угла наклона и гравитационного ускорения.

Мы можем записать дальность полета \(d\) снаряда как функцию угла наклона \(\theta\) следующим образом:

\[d = \frac{{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}}{g}\]

Где \(v_0\) - начальная скорость снаряда, \(g\) - гравитационное ускорение.

Для нахождения значения угла наклона, при котором дальность полета максимальна, нам нужно найти максимум функции \(d(\theta)\). Мы можем сделать это, продифференцировав \(d(\theta)\) и приравняв его к нулю:

\[\frac{{d}}{{d\theta}}(d) = 0\]

Продифференцируем \(d(\theta)\):

\[\frac{{d}}{{d\theta}}\left(\frac{{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}}{g}\right) = 0\]

Сначала упростим выражение. Мы знаем, что производная синуса \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\), и что \(d(\theta)\) не зависит от времени (\(\frac{{dt}}{{d\theta}} = 0\)):

\[\frac{{2v_0^2 \cdot \cos(2\theta)}}{g} = 0\]

Теперь приравняем это к нулю:

\[2v_0^2 \cdot \cos(2\theta) = 0\]

Выберем такой угол \(\theta\), чтобы \(\cos(2\theta) = 0\). Решим это уравнение:

\[\cos(2\theta) = 0\]

Чтобы найти все значения \(\theta\), при которых \(\cos(2\theta) = 0\), мы должны знать, какие значения \(\theta\) удовлетворяют условию \(\cos(\alpha) = 0\). Мы можем использовать свойства функции косинуса и решить это:

\[\cos(\alpha) = 0\]

Это верно только при \(\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot n\), где \(n\) - целое число.

Теперь мы можем найти значения \(\theta\):

\[\frac{2\theta}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot n\]

\[\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \cdot n\]

Таким образом, для любого целого числа \(n\) значения угла \(\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \cdot n\) будут соответствовать наибольшей дальности полета снаряда.