При каком значении q трёхчлен с квадратом становится двучленом, являющимся полным квадратом?

Таинственный_Акробат

48

Хорошо, чтобы выяснить, при каком значении \( q \) трёхчлен с квадратом становится двучленом, являющимся полным квадратом, давайте рассмотрим общую формулу для трёхчлена с квадратом:

\[ ax^2 + bx + c \]

Если этот трёхчлен становится двучленом, являющимся полным квадратом, то он должен иметь вид:

\[ (px + q)^2 \]

Давайте раскроем квадрат и установим соответствие между коэффициентами обеих формул:

\[ (px + q)^2 = a x^2 + b x + c \]

Раскроем квадрат:

\[ p^2 x^2 + 2pqx + q^2 = a x^2 + b x + c \]

Теперь сравним коэффициенты при соответствующих степенях переменной \( x \) на обоих сторонах равенства:

\[ \begin{cases} p^2 = a \\ 2pq = b \\ q^2 = c \end{cases} \]

Для нашей задачи нам нужно найти значение \( q \), при котором трёхчлен с квадратом становится двучленом, являющимся полным квадратом. Это означает, что коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) должны быть связаны следующим образом:

\[ \begin{cases} p^2 = a \\ 2pq = 0 \\ q^2 = a \end{cases} \]

Мы видим, что коэффициент \( b \) равен нулю, поскольку \( 2pq = 2 \cdot p \cdot 0 = 0 \). Таким образом, трёхчлен становится двучленом.

Теперь, чтобы узнать при каком значении \( q \) трёхчлен становится полным квадратом, у нас есть уравнение \( q^2 = a \). Заменив значение \( a \) на \( p^2 \), мы получим:

\[ q^2 = p^2 \]

Чтобы найти значение \( q \), мы можем взять квадратный корень от обеих сторон:

\[ q = \sqrt{p^2} = p \]

Таким образом, при значении \( q = p \) трёхчлен с квадратом становится двучленом, являющимся полным квадратом.

Мы можем сделать вывод, что для условия данной задачи трёхчлен с квадратом становится полным квадратом при любом значении \( q \), равном значению \( p \).