При условии, что площадь квадрата составляет x квадратных единиц, найдите длину окружности C и площадь круга

Осень

36

Хорошо, давайте решим эту задачу.

По условию задачи, площадь квадрата составляет \( x \) квадратных единиц. Площадь квадрата можно вычислить по формуле:
\[ S_{\text{квадрата}} = a^2, \]
где \( a \) - это длина стороны квадрата.

Так как в нашей задаче окружность вписана в квадрат, то диагональ квадрата является диаметром окружности. Пусть диагональ квадрата равна \( D \), тогда диаметр окружности будет также равен \( D \).

Чтобы найти диаметр окружности, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной квадрата и его диагональю.
Теорема Пифагора гласит:
\[ c^2 = a^2 + b^2, \]
где \( c \) - гипотенуза (диагональ в нашем случае), а \( a \) и \( b \) - катеты (стороны квадрата).

Так как в нашем случае сторона квадрата равна \( a \), то мы можем записать:
\[ D^2 = a^2 + a^2. \]

Чтобы найти длину окружности \( C \), нам нужно знать диаметр окружности. Формула связи длины окружности с ее диаметром выглядит следующим образом:
\[ C = \pi \cdot D, \]
где \( \pi \) - математическая константа, равная примерно 3.14159.

Теперь рассмотрим площадь круга \( S \). Площадь круга можно вычислить по формуле:
\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2, \]
где \( r \) - радиус круга, который равен половине диаметра:
\[ r = \frac{D}{2}. \]

Теперь у нас есть все необходимые формулы. Давайте применим их к нашей задаче.

1. Вычислим длину стороны квадрата:
\[ a = \sqrt{x}. \]
2. Вычислим диагональ квадрата:
\[ D = \sqrt{2} \cdot a. \]
3. Вычислим длину окружности:
\[ C = \pi \cdot D. \]
4. Вычислим площадь круга:
\[ S = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2. \]

Теперь мы можем подставить вычисленные значения и решить задачу практически.