Применяя формулу для кинетического уравнения, докажите, что время t x, необходимое для достижения степени превращения

Oleg

9

Конечно, я помогу вам с задачей! Для доказательства того, что время \( t_x \), необходимое для достижения степени превращения \( x \) для реакций первого порядка, не связано с начальной концентрацией, воспользуемся формулой для кинетического уравнения реакции первого порядка:

\[ ln \left( \frac{{[A]_0}}{{[A]}} \right) = kt \]

где:
\[ [A]_0 \] - начальная концентрация вещества A
\[ [A] \] - концентрация вещества A после времени t
\[ k \] - константа скорости реакции

Мы знаем, что степень превращения \( x \) выражается следующим образом:

\[ x = \frac{{[A]_0 - [A]}}{{[A]_0}} \]

Теперь мы можем подставить значение для \( x \) в формулу кинетического уравнения:

\[ ln \left( \frac{{[A]_0}}{{[A]}} \right) = k \cdot t \]
\[ ln \left( \frac{{[A]_0}}{{[A]_0 - [A]}} \right) = k \cdot t \]
\[ ln \left( \frac{{1}}{{1 - \frac{{[A]}}{{[A]_0}}}} \right) = k \cdot t \]

Поскольку мы хотим показать, что время \( t_x \) не зависит от начальной концентрации, давайте предположим, что начальная концентрация обозначается как \( [A]_0 \), а конечная концентрация, достигнутая после времени \( t_x \), обозначается как \( [A] \). Тогда:

\[ ln \left( \frac{{1}}{{1 - \frac{{[A]}}{{[A]_0}}}} \right) = k \cdot t_x \]

Теперь посмотрим, что произойдет, если мы изменим начальную концентрацию, но оставим значение \( x \) неизменным. Пусть у нас будет новое значение начальной концентрации \( [A]_0" \), а конечная концентрация, достигнутая после времени \( t_x \), - \( [A]" \). Тогда:

\[ ln \left( \frac{{1}}{{1 - \frac{{[A]"}}{{[A]_0"}}}} \right) = k \cdot t_x \]

Мы видим, что формула остается идентичной и не зависит от нового значения начальной концентрации. Это означает, что время \( t_x \) остается постоянным независимо от начальной концентрации реагирующих веществ. Таким образом, мы доказали, что время \( t_x \) не связано с начальной концентрацией.

Надеюсь, это решение помогло вам понять задачу.