Программа должна быть разработана для вычисления остатка от деления значения функции Эйлера от определенного

Солнечная_Луна

6

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобится знать определение функции Эйлера и способы вычисления биномиальных коэффициентов.

Функция Эйлера \(\phi(n)\) определена как количество чисел от 1 до \(n\), взаимно простых с \(n\). Важным свойством функции Эйлера является тот факт, что для любого простого числа \(p\) и положительного целого числа \(k\), где \(p\) не является делителем \(k\), выполняется равенство: \(\phi(p^k) = p^k - p^{k-1}\).

Теперь взглянем на биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\), который определяется как количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) без учета порядка. Он может быть вычислен с использованием рекуррентного соотношения: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\).

Поскольку мы хотим вычислить остаток от деления значения функции Эйлера от биномиального коэффициента на 100000007, будем использовать вышеуказанные свойства.

Для данной задачи, \(n = 202120\) и \(k = 2021\), поэтому нам нужно найти \(\binom{202120}{2021}\) и вычислить остаток от деления \(\phi(\binom{202120}{2021})\) на 100000007.

Шаг 1: Расчет биномиального коэффициента
Мы можем использовать рекуррентное соотношение для вычисления биномиального коэффициента. Начнем с базовых значений, где \(n = 0\) или \(k > n\):
\(\binom{n}{k} = 0\) при \(n < 0\) или \(k < 0\)
\(\binom{0}{0} = 1\) и \(\binom{n}{k} = 0\) при \(k > n > 0\)

Теперь мы можем использовать рекуррентное соотношение для остальных значений:
\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)

Мы можем вычислить биномиальный коэффициент \(\binom{202120}{2021}\) с помощью этого рекуррентного соотношения.

Шаг 2: Вычисление функции Эйлера
Теперь, когда мы знаем значение биномиального коэффициента, мы можем вычислить \(\phi(\binom{202120}{2021})\).

Функцию Эйлера можно выразить через разложение числа на простые множители:
\(\phi(n) = n \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdot ... \cdot \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\),
где \(p_1, p_2, ..., p_k\) - простые множители числа \(n\).

Определим простые множители числа \(\binom{202120}{2021}\).

Шаг 3: Вычисление остатка
Теперь, когда у нас есть значение функции Эйлера от \(\binom{202120}{2021}\), мы можем вычислить остаток от деления результата на 100000007.

Это можно сделать с помощью операции модуля: \(остаток = \phi(\binom{202120}{2021}) \mod 100000007\).

Теперь вычислим каждый шаг по порядку.

Шаг 1: Расчет биномиального коэффициента
Мы начинаем с базового значения \(\binom{202120}{2021} = 0\).

Шаг 2: Вычисление функции Эйлера
Мы должны определить простые множители числа \(\binom{202120}{2021}\).

Шаг 3: Вычисление остатка
Теперь мы можем вычислить остаток от деления значения функции Эйлера от \(\binom{202120}{2021}\) на 100000007:

\(\text{остаток} = \phi(\binom{202120}{2021}) \mod 100000007\)