Проходит через вершину В и точку пересечения диагонали АС с серединой проведена прямая в равнобедренной трапеции АВСD

Laki

14

В данной задаче у нас есть равнобедренная трапеция \(ABCD\), где \(AB \parallel CD\) и \(AD = BC\). Также известно, что прямая проходит через вершину \(B\) трапеции и точку пересечения диагонали \(AC\) с её серединой.

Чтобы решить эту задачу пошагово, давайте разберемся.

1. Обозначим середину отрезка \(AC\) как точку \(M\). Так как \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, то \(AM = MC\).

2. Проведем прямую через точку \(B\), параллельную сторонам \(AD\) и \(BC\), и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением сторон \(AB\) и \(CD\) как точку \(E\).

3. Так как прямая проходит через середину отрезка \(AC\) и вершину \(B\), то она также проходит через точку \(M\). Следовательно, \(EM = MC\).

4. Из построения следует, что треугольник \(ABE\) подобен треугольнику \(BDC\), так как у них соответственные углы равны (по основанию равнобедренной трапеции).

5. Поскольку треугольник \(ABE\) подобен треугольнику \(BDC\), то \(\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{BC}\). Но так как \(AD = BC\) (т.к. \(ABCD\) - равнобедренная трапеция), то \(\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{AD}\).

6. Мы знаем, что \(AM = MC\), поэтому \(\frac{AE}{AD} = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}\) (по свойству середины отрезка).

Таким образом, прямая, проходящая через вершину \(B\) и точку пересечения диагонали \(AC\) с серединой отрезка, делит основание \(AD\) трапеции \(ABCD\) пополам.