Проходит через вершину В и точку пересечения диагонали АС с серединой проведена прямая в равнобедренной трапеции АВСD

Laki

14

В данной задаче у нас есть равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AB\parallel CD$ и $AD=BC$. Также известно, что прямая проходит через вершину $B$ трапеции и точку пересечения диагонали $AC$ с её серединой.

Чтобы решить эту задачу пошагово, давайте разберемся.

1. Обозначим середину отрезка $AC$ как точку $M$. Так как $ABCD$ - равнобедренная трапеция, то $AM=MC$.

2. Проведем прямую через точку $B$, параллельную сторонам $AD$ и $BC$, и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением сторон $AB$ и $CD$ как точку $E$.

3. Так как прямая проходит через середину отрезка $AC$ и вершину $B$, то она также проходит через точку $M$. Следовательно, $EM=MC$.

4. Из построения следует, что треугольник $ABE$ подобен треугольнику $BDC$, так как у них соответственные углы равны (по основанию равнобедренной трапеции).

5. Поскольку треугольник $ABE$ подобен треугольнику $BDC$, то $\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BC}$. Но так как $AD=BC$ (т.к. $ABCD$ - равнобедренная трапеция), то $\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{AD}$.

6. Мы знаем, что $AM=MC$, поэтому $\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$ (по свойству середины отрезка).

Таким образом, прямая, проходящая через вершину $B$ и точку пересечения диагонали $AC$ с серединой отрезка, делит основание $AD$ трапеции $ABCD$ пополам.