Расчитайте длину части окружности, которая имеет радиус 4 см и угол, измеренный в градусах, равный 120°. Определите

Vihr_9737

8

Хорошо! Рассмотрим каждую задачу по очереди.

Задача 1: Расчет длины части окружности.
Для начала, нам нужно найти длину окружности. Формула для расчета длины окружности - \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14159, и \(r\) - радиус окружности.

В данной задаче радиус окружности равен 4 см, поэтому подставим это значение в формулу:
\[C = 2 \cdot 3.14159 \cdot 4\]
\[C \approx 25.13272\]

Далее, нам нужно найти длину части окружности, образованной углом 120°. Для этого мы используем пропорцию между мерой угла и длиной дуги окружности. Весь круг - 360°, поэтому:
\[\frac{{\text{{длина части окружности}}}}{{C}} = \frac{{\text{{мера угла}}}}{{360°}}\]

Подставим известные значения и решим пропорцию:
\[\frac{{\text{{длина части окружности}}}}{{25.13272}} = \frac{{120}}{{360}}\]
\[\text{{длина части окружности}} = \frac{{120}}{{360}} \cdot 25.13272\]
\[\text{{длина части окружности}} \approx 8.37757\]

Ответ: Длина части окружности, образованной углом 120°, примерно равна 8.37757 см.

Задача 2: Расчет площади круга и площади квадрата.
В данной задаче нам дана площадь квадрата, вписанного в окружность, равная 36 дм². Чтобы найти площадь круга, нам нужно знать радиус круга.

По определению, если сторона квадрата вписана в окружность, то диаметр окружности равен длине стороны квадрата. Так как площадь квадрата равна 36 дм², сторона квадрата составляет \(\sqrt{36} = 6\) дм.

Найдем диаметр окружности, который также равен длине стороны квадрата. В данном случае, диаметр равен 6 дм, что значит, что радиус окружности равен половине диаметра, то есть 3 дм.

Теперь мы можем найти площадь круга, используя формулу \(S = \pi r^2\). Подставим известные значения:
\[S = 3.14159 \cdot 3^2\]
\[S \approx 28.27431\]

Ответ: Площадь круга, вписанного в данный квадрат, примерно равна 28.27431 дм².

Задача 3: Расчет площади оставшейся части окружности.
В данной задаче, круг был разделен на равносторонний шестиугольник со стороной 12 см. Мы хотим найти площадь оставшейся части окружности.

Сначала, давайте найдем площадь всего круга. Мы уже знаем, что формула для нахождения площади круга - \(S = \pi r^2\). Радиус круга равен половине длины стороны шестиугольника, то есть \(\frac{12}{2} = 6\) см. Подставляем известные значения:
\[S = 3.14159 \cdot 6^2\]
\[S \approx 113.09734\]

Теперь, чтобы найти площадь оставшейся части окружности, мы вычтем площадь шестиугольника из площади всего круга. Площадь шестиугольника равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника. Подставляем известные значения:
\[S_{\text{оставшаяся}} = S - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2\right)\]
\[S_{\text{оставшаяся}} \approx 113.09734 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2\]
\[S_{\text{оставшаяся}} \approx 113.09734 - 3\sqrt{3} \cdot 12^2\]
\[S_{\text{оставшаяся}} \approx 56.54867 - 3\sqrt{3} \cdot 144\]
\[S_{\text{оставшаяся}} \approx 56.54867 - 3\sqrt{3} \cdot 144\]

Ответ: Площадь оставшейся части окружности примерно равна 56.54867 см².

Задача 4: Расчет длины дуги окружности, ограниченной вписанным треугольником.
В данной задаче, вписан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Мы хотим найти длину дуги окружности, ограниченной этим треугольником.

Для начала, найдем радиус окружности. Примечательно, что в равностороннем треугольнике высота равна половине стороны, и она также является радиусом окружности. В данном случае, высота (и радиус) равна 4 см.

Теперь мы можем найти длину дуги окружности, используя формулу \(L = \frac{{\text{мера угла}}}{{360°}} \cdot C\), где \(L\) - длина дуги окружности, \(\frac{{\text{мера угла}}}{{360°}}\) - доля круга, ограниченная углом (в данном случае равносторонний треугольник занимает 120° из 360°), а \(C\) - длина окружности.

Подставим известные значения и решим:
\[L = \frac{{120}}{{360}} \cdot C\]
\[L = \frac{{120}}{{360}} \cdot 2 \pi 4\]
\[L = \frac{{120}}{{360}} \cdot 2 \cdot 3.14159 \cdot 4\]
\[L \approx 8.37757\]

Ответ: Длина дуги окружности, ограниченная вписанным равносторонним треугольником, примерно равна 8.37757 см.

Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.