реки в этом месте составляет b. В какой точке ВС следует отчаливать лодку, чтобы минимизировать общее пройденное

  • 36
реки в этом месте составляет b. В какой точке ВС следует отчаливать лодку, чтобы минимизировать общее пройденное расстояние?
Morskoy_Shtorm
39
Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать принцип Ферма. Этот принцип утверждает, что свет идет по оптическому пути, который занимает наименьшее время, и аналогично лодка будет двигаться по реке так, чтобы время пути было минимальным.

Для начала, представим что место, откуда стартует лодка, обозначим как точку A, а точку B обозначим как место на реке, где лодка должна отчаливать. Пусть x будет расстоянием от точки A до точки ВС, а y будет расстоянием от точки B до места выхода лодки на берег.

Мы знаем, что время, необходимое для преодоления расстояния, можно вычислить по формуле t=sv, где s - расстояние, а v - скорость. В данной задаче скорость лодки будет постоянной, поэтому время будет пропорционально пройденному расстоянию.

Теперь, чтобы определить оптимальную точку ВС, рассмотрим два возможных пути: один через точку ВС, и второй - вдоль берега, без выплывания на реку посередине. Для простоты, обозначим v1 скорость движения по пути через точку ВС, и v2 - скорость движения вдоль берега.

Для пути через точку ВС, общее время пути будет равно сумме времени t1 от точки A до B и времени t2 от точки ВС до места выхода лодки на берег:

t1=xv1
t2=yv1

Для пути вдоль берега, общее время пути будет равно времени t3 от точки A до места выхода лодки на берег:
t3=bv2

Теперь, чтобы минимизировать общее время пути, мы должны выбрать точку ВС таким образом, чтобы сумма t1 и t2 была минимальной.

t=t1+t2=xv1+yv1

Возьмем производную t по x, чтобы найти точку минимума. Это можно сделать, потому что производная от времени по пройденному пути должна быть равна нулю в точке минимума.

dtdx=1v1+1v1=0

Отсюда получаем:
2v1=0
v1=2b

Наше решение указывает, что скорость лодки в точке ВС должна быть равной v1=2b, чтобы минимизировать общее время пути.

Итак, чтобы минимизировать общее пройденное расстояние, лодку следует отчаливать в точке ВС на расстоянии x=2b от точки A.