реки в этом месте составляет b. В какой точке ВС следует отчаливать лодку, чтобы минимизировать общее пройденное

Morskoy_Shtorm

39

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать принцип Ферма. Этот принцип утверждает, что свет идет по оптическому пути, который занимает наименьшее время, и аналогично лодка будет двигаться по реке так, чтобы время пути было минимальным.

Для начала, представим что место, откуда стартует лодка, обозначим как точку A, а точку B обозначим как место на реке, где лодка должна отчаливать. Пусть \(x\) будет расстоянием от точки A до точки ВС, а \(y\) будет расстоянием от точки B до места выхода лодки на берег.

Мы знаем, что время, необходимое для преодоления расстояния, можно вычислить по формуле \(t = \frac{s}{v}\), где \(s\) - расстояние, а \(v\) - скорость. В данной задаче скорость лодки будет постоянной, поэтому время будет пропорционально пройденному расстоянию.

Теперь, чтобы определить оптимальную точку ВС, рассмотрим два возможных пути: один через точку ВС, и второй - вдоль берега, без выплывания на реку посередине. Для простоты, обозначим \(v_1\) скорость движения по пути через точку ВС, и \(v_2\) - скорость движения вдоль берега.

Для пути через точку ВС, общее время пути будет равно сумме времени \(t_1\) от точки A до B и времени \(t_2\) от точки ВС до места выхода лодки на берег:

\[t_1 = \frac{x}{v_1}\]
\[t_2 = \frac{y}{v_1}\]

Для пути вдоль берега, общее время пути будет равно времени \(t_3\) от точки A до места выхода лодки на берег:
\[t_3 = \frac{b}{v_2}\]

Теперь, чтобы минимизировать общее время пути, мы должны выбрать точку ВС таким образом, чтобы сумма \(t_1\) и \(t_2\) была минимальной.

\[t = t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_1}\]

Возьмем производную \(t\) по \(x\), чтобы найти точку минимума. Это можно сделать, потому что производная от времени по пройденному пути должна быть равна нулю в точке минимума.

\[\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_1} = 0\]

Отсюда получаем:
\[\frac{2}{v_1} = 0\]
\[v_1 = \frac{2}{b}\]

Наше решение указывает, что скорость лодки в точке ВС должна быть равной \(v_1 = \frac{2}{b}\), чтобы минимизировать общее время пути.

Итак, чтобы минимизировать общее пройденное расстояние, лодку следует отчаливать в точке ВС на расстоянии \(x = \frac{2}{b}\) от точки A.