реки в этом месте составляет b. В какой точке ВС следует отчаливать лодку, чтобы минимизировать общее пройденное

Morskoy_Shtorm

39

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать принцип Ферма. Этот принцип утверждает, что свет идет по оптическому пути, который занимает наименьшее время, и аналогично лодка будет двигаться по реке так, чтобы время пути было минимальным.

Для начала, представим что место, откуда стартует лодка, обозначим как точку A, а точку B обозначим как место на реке, где лодка должна отчаливать. Пусть $x$ будет расстоянием от точки A до точки ВС, а $y$ будет расстоянием от точки B до места выхода лодки на берег.

Мы знаем, что время, необходимое для преодоления расстояния, можно вычислить по формуле $t=\frac{s}{v}$, где $s$ - расстояние, а $v$ - скорость. В данной задаче скорость лодки будет постоянной, поэтому время будет пропорционально пройденному расстоянию.

Теперь, чтобы определить оптимальную точку ВС, рассмотрим два возможных пути: один через точку ВС, и второй - вдоль берега, без выплывания на реку посередине. Для простоты, обозначим $v_1$ скорость движения по пути через точку ВС, и $v_2$ - скорость движения вдоль берега.

Для пути через точку ВС, общее время пути будет равно сумме времени $t_1$ от точки A до B и времени $t_2$ от точки ВС до места выхода лодки на берег:

$$t_1=\frac{x}{v_1}$$
$$t_2=\frac{y}{v_1}$$

Для пути вдоль берега, общее время пути будет равно времени $t_3$ от точки A до места выхода лодки на берег:
$$t_3=\frac{b}{v_2}$$

Теперь, чтобы минимизировать общее время пути, мы должны выбрать точку ВС таким образом, чтобы сумма $t_1$ и $t_2$ была минимальной.

$$t=t_1+t_2=\frac{x}{v_1}+\frac{y}{v_1}$$

Возьмем производную $t$ по $x$, чтобы найти точку минимума. Это можно сделать, потому что производная от времени по пройденному пути должна быть равна нулю в точке минимума.

$$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_1}=0$$

Отсюда получаем:
$$\frac{2}{v_1}=0$$
$$v_1=\frac{2}{b}$$

Наше решение указывает, что скорость лодки в точке ВС должна быть равной $v_1=\frac{2}{b}$, чтобы минимизировать общее время пути.

Итак, чтобы минимизировать общее пройденное расстояние, лодку следует отчаливать в точке ВС на расстоянии $x=\frac{2}{b}$ от точки A.