Решить треугольник и найти неизвестные элементы: А) Считая, что сторона a равна 17, угол β равен 35° и угол γ равен

Рак_6496

6

А) Для решения этой задачи нам понадобятся законы синусов и косинусов, а также свойства треугольника. Давайте начнем решение.

1. Сначала определим угол α, используя сумму углов треугольника. Угол α = 180° - угол β - угол γ:
\[
\alpha = 180° - 35° - 80° = 65°
\]

2. Затем, чтобы найти сторону b, воспользуемся законом синусов:
\[
\frac{{\sin\beta}}{{a}} = \frac{{\sin\alpha}}{{b}}
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{{\sin35°}}{{17}} = \frac{{\sin65°}}{{b}}
\]
Сопряженные равны, поэтому:
\[
b \cdot \sin35° = 17 \cdot \sin65°
\]
Подставим значения и решим уравнение:
\[
b = \frac{{17 \cdot \sin65°}}{{\sin35°}} \approx 22.48
\]

3. Наконец, чтобы найти сторону c, воспользуемся законом синусов:
\[
\frac{{\sin\gamma}}{{c}} = \frac{{\sin\alpha}}{{b}}
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{{\sin80°}}{{c}} = \frac{{\sin65°}}{{b}}
\]
Разделим оба выражения на \(\sin80°\) и умножим на \(b\):
\[
c = \frac{{b \cdot \sin80°}}{{\sin65°}} \approx 23.21
\]

Таким образом, найденные значения других неизвестных элементов треугольника в случае, когда сторона \(a = 17\), угол \(\beta = 35°\) и угол \(\gamma = 80°\), равны: \(b \approx 22.48\) и \(c \approx 23.21\).

Б) Перейдем к второй задаче.

1. Определим угол α, используя сумму углов треугольника. Угол α = 180° - угол β - угол γ:
\[
\alpha = 180° - 55° - 180° = -55°
\]
Обратите внимание, что полученное значение угла α отрицательно. Это означает, что угол не может быть -55° в треугольнике. Таким образом, данная задача не имеет корректного решения.

В) Перейдем к третьей задаче.

1. Для начала проверим, существует ли треугольник с заданными сторонами. Сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Проверим это:
\[
a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a
\]
Подставим значения:
\[
5 + 9 > 6, \quad 5 + 6 > 9, \quad 9 + 6 > 5
\]
Все условия выполняются, значит, такой треугольник существует.

2. Теперь определим угол α, используя закон косинусов:
\[
\cos\alpha = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}
\]
Подставим значения:
\[
\cos\alpha = \frac{{9^2 + 6^2 - 5^2}}{{2 \cdot 9 \cdot 6}}
\]
Рассчитаем значение:
\[
\cos\alpha \approx 0.7778
\]
Найдем угол α, используя обратную функцию косинуса:
\[
\alpha = \cos^{-1}(0.7778) \approx 40.72°
\]

3. Теперь, используя закон синусов, найдем угол β:
\[
\frac{{\sin\beta}}{{a}} = \frac{{\sin\alpha}}{{c}}
\]
Подставим значения:
\[
\frac{{\sin\beta}}{{5}} = \frac{{\sin40.72°}}{{6}}
\]
Решим уравнение:
\[
\sin\beta = \frac{{5 \cdot \sin40.72°}}{{6}}
\]
Найдем угол β, используя обратную функцию синуса:
\[
\beta = \sin^{-1}\left(\frac{{5 \cdot \sin40.72°}}{{6}}\right) \approx 50.88°
\]

Таким образом, найденные значения других неизвестных элементов треугольника в случае, когда сторона \(a = 5\), сторона \(b = 9\) и сторона \(c = 6\), равны: \(\alpha \approx 40.72°\) и \(\beta \approx 50.88°\).